摘要：機床剛（gāng）度、固有頻率等動力學特性隨著機床部件位置、姿態在工作空間中的變化而變化。對機（jī）床動力學特（tè）性的（de）研（yán）究不僅需（xū）要考慮到機床質量、剛度、阻（zǔ）尼（ní）值（zhí）的大小，還應重（chóng）視機（jī）床加工點的空間位（wèi）置變化。采用空間統計學（xué）方法（fǎ），以超精密機床固有頻率這（zhè）一（yī）關鍵動力（lì）學性能為（wéi）例，分析機床動力學性能與（yǔ）機床位置姿態之間的數學關係，選取機（jī）床（chuáng）動態特（tè）性變異函數，建立動力學性能變化（huà）預測的Kriging 方法模型，研究動力（lì）學特性在工作空（kōng）間中的變化規律以及動力學特性空間信息的表述方法。將所（suǒ）建立的（de）模型與正交多項式方法、徑向基神（shén）經（jīng）網絡方法、二階響應麵方法等方法建立動力學性能預測分（fèn）析模（mó）型比較，空間統計學Kriging 方法所建（jiàn）立的模型R2 檢驗大於0.96，在四種模型建構方式中為精確度最優，能夠（gòu）在完整工作（zuò）空間中準確地描述機床動（dòng）力學特性。基於空間統計學（xué）的機床動力學特（tè）性研（yán）究為機床的動力（lì）學設計提供了新的設計分析方法及相（xiàng）應的技術支持。
 
      關鍵詞：機床動力學；加工空間；空間統計學；Kriging 模型；固（gù）有頻率
   
      0 前言
   
      機床（chuáng）動（dòng）力學特性是機床重要的性能指標。不恰當的機床設計和使（shǐ）用將（jiāng）引起機床加工中（zhōng）的顫振，使得機床的切削條件變得不穩定（dìng），導（dǎo）致刀具的磨損和斷裂，產生加工中（zhōng）的（de）振動和噪聲（shēng），影響機床（chuáng）加（jiā）工精度和工件表麵形（xíng）貌，加速機床本身的磨損和破壞。與機床動力（lì）學性能相關的機床設計參數通常（cháng）有機床的剛度、固有頻率、模態振型、阻尼、質量分布等。機床（chuáng）動（dòng）力學特（tè）性設計和分析通常采（cǎi）用有限元方法（fǎ）建立虛擬（nǐ）仿真環境（jìng）[1-3]，提供在一個具體的位置和姿態下，機床的n 階固有頻率和對應的模態振（zhèn）型（xíng）以及剛度，為機床（chuáng）的（de）動（dòng）力學設計提供數據支持。虛擬仿真環境解決了機（jī）床運（yùn）動過程中的（de）位置相關的動力學性能評（píng）估問題，但尚未對機床（chuáng）各加工（gōng）位置之間的（de）動力學性（xìng）能的變化趨勢和關聯性進行分（fèn）析。針對機床工作空間（jiān）中動力學特性的演變，許多學者進行了分析研究。ZAGHBANI 等[4]采用機床加（jiā）工過程中模態的變化為指標來評估機床動力學特性的穩定性。WU 等[5]分（fèn）別使用數值計（jì）算和（hé）試（shì）驗方法研究了5自由度混聯機床工作空間中的剛（gāng）度分布，並嚐試通過（guò）改進剛度最低的部件剛度來優化係統（tǒng）剛度。劉海濤等[6]通（tōng）過定義廣義加工（gōng）空間函數的方法，在龍門機床和立式機床的整個工作（zuò）空間進行模態分析和動力響（xiǎng）應分析，獲得了低階（jiē）固有頻率在加工空間中變化最大（dà）可達25%的結論，證明了機床性能的優化中完整模態信息的重要性。但目前，關於動（dòng）力學（xué）特（tè）性在工作空（kōng）間中的（de）變化規律的研究以及動力學特（tè）性空間信息的表述方法（fǎ）的研究還未見有詳細研究的報導。
   
      本文通過機床工（gōng）作空間動力學特性分析機床動力學性（xìng）能的空間（jiān）特性的內在形成機製，繼而，以一階固有頻率為例，建（jiàn）立空間中（zhōng）的機床動力學特性的空（kōng）間統計學模型，通過與正（zhèng）交（jiāo）多項式模（mó）型（xíng）、神經網絡模型及二次響應麵模型的比較（jiào），分析動力學性能的影響因素的同時，獲得高精度（dù）的（de）空間動力學（xué）特性表征模型（xíng）。
     
     1 、機床動力學性能的空間特性分析（xī）
   
     如圖 1 所（suǒ）示[7]，機床剛度、固有頻率、模態振型等動力（lì）學參數是機床關鍵部件及結合（hé）部組（zǔ）成的剛度鏈（liàn）[8-10]結構特性和機（jī）床空間位置、姿態等空（kōng）間特性的函數。剛度鏈隨著機床的位姿變（biàn）化而變化。剛度鏈每一位置姿態對應的剛度、固（gù）有頻率等模態信息都可以使用多體動力學和有限元分析的聯合仿真方法求解[2]。

      
                    圖1 機床剛度鏈及機床動力學特（tè）性
     
     機床剛度鏈的兩個端點刀具和工件在加工過程中位置變化包絡形成機床工作空間。加工空間（jiān）內的（de）質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣隨（suí）著機床位置（zhì）姿態的變化而變化，並引起固有頻率、模態、動剛度等動態特性的變化。其中，質（zhì）量矩（jǔ）陣在加工過程中隨著運動部件重（chóng）心的（de）變（biàn）化而變化；阻尼產生機理和（hé）計（jì）算方法尚有爭論；機床的剛度鏈（liàn）組成複雜，包括：結構（gòu）件剛度、主軸剛度、導軌剛度、結合部剛度、電（diàn）機伺服剛度、氣浮軸承剛度等，在機床運動過程中，這（zhè）些剛度鏈的剛度變化量級不同。在（zài）三個因素綜（zōng）合作用下（xià），機（jī）床的固有頻（pín）率、模態、動剛度等動態特性在加工空間中（zhōng）的變化（huà）呈（chéng）現非（fēi）線性、變化規律複雜。
   
      決定機床動力學（xué）特性的機床質量矩陣 m、剛度矩陣k 和阻尼矩陣c 都隨著（zhe）剛度鏈的變化而變（biàn）化，機床的動力學特性（xìng）是空間位置(x, y, z)的函數。可寫為（wéi）
 

  
      將位置姿態數據(x, y, z)反（fǎn）複代入（rù）到式（shì）(1)，獲（huò）得（dé）某5軸銑（xǐ）床各加工位置的一階固有頻率，如圖2 所示。對式(1)、(2)進行模態疊（dié）加，可得到（dào）由固有頻（pín）率（lǜ）值和模態矢量表述的動剛度等（děng）動態特性
    
     
     
      根據以上數學推導及分析可知，由於機床（chuáng）運動中質量、阻尼、剛度改變的（de）連續（xù）性，加工空間中的（de）動力學特性數據各位（wèi）置間明顯具有關聯性，表現為鄰（lín）近位置的動力學特性相似。這種數據之間的關聯性，使得超精密機床加工空間動態性能具有空（kōng）間依賴性(空間自相關)。在（zài）進行動態性能分析時，既考慮到（dào）各采（cǎi）樣點具體值的大（dà）小，又重視樣本空間位置及樣本間的距離的方法會更有利於動（dòng）態性能的把握。空（kōng）間對象間的相關性（xìng）和（hé）非獨立的有效科學方法是（shì）基於數據的空（kōng）間（jiān）統計學。從這個性質而言，傳統的代數多項（xiàng）式擬合建立在數據獨立性的（de）基礎（chǔ）上，代數多項（xiàng）式的統計模型（xíng）對空間數據的分析會產生虛（xū）假的解釋。目前流行的神（shén）經網（wǎng）絡方法沒有（yǒu）在算法中明確（què）指（zhǐ）出從空間特性上對動態性（xìng）能學習和分析的途徑，其對整機動態特性的掌握也沒有考慮空間數據（jù）關係的空（kōng）間分析方法（fǎ）精準。在空間特性分析上，Kriging 方法[11-12]是以（yǐ）已知樣本信（xìn）息（xī）的動態構造為基礎，充分考慮到變量在空間上的相關特征，建立對象問題的近似函數關係來模擬某一點的未知信息的有效空間統計學方法。

     
                              圖（tú）2 加工空間各加工位置的（de）固有（yǒu）頻率值

      因此，本文嚐試使用 Kriging 方法建立（lì）近似模型對加工空間動態特性預測分析，並與（yǔ）傳統代數（shù）多（duō）項式建立的響應麵近（jìn）似模型、及基於對數據學習分（fèn）析的神經網絡模型對比，以期獲（huò）取更好性能預測分析。
   
 
      2 、動力學性能的Kriging 預測模型（xíng）

      Kriging 插值[11]是（shì）一（yī）種求最優（yōu）、線性、無偏的空（kōng）間內插方（fāng）法，采用協方差衡量各點空間相關程度。它是基於（yú）線性回歸分析的一種改進，模型包含了線性回歸部分和非參數部分，其中的非參數部（bù）分被稱為（wéi）變異函數，采用隨機分布函數的實現。

      常用於擬合變異函數的模型包括指數模型（xíng）、高斯模型、Matérn 線性（xìng）模型、Matérn 立方模型。通過計算模型（xíng）協方差，找出最佳理（lǐ）論變異函數（shù）模型，獲（huò）得最好擬（nǐ）合效果，計（jì）算公式為（wéi）

     
  
     至此，對加工空間（jiān）中任意點的一階固有頻率可使用式(16)計算獲（huò）得。其他如剛度、高階固有頻率、阻尼等相關（guān）動態性能參數均可使用此方法計算。下麵以一階固有（yǒu）頻率為例（lì）對Kriging 方法建立的（de）模型進行加工空（kōng）間內機床動態（tài）特性（xìng）分析。
   
      3 、機床動態特性分析
 
      3.1 動態特性變異函數的選（xuǎn）擇（zé）
   
      取圖 2 中27 個空間點作為位置變量輸（shū）入P = {p1, p2 ,, pn}，對應響應變量的輸出數據f1,f2.... fn，計算刀具加工（gōng）點位於（yú）空間位置p 時機床的動（dòng）態性能。
 
      將已知的（de） 27 個空間位置的一階固有頻率數據代（dài）入（rù），選擇變異函數g(x, y, z)協方差計算模（mó）型為指數模型，獲得正則化θ 參數如表1 所示。
 
                                  表 1 Kriging 模型（xíng）θ 參數

      至此，完成整體模型擬（nǐ）合。

     
    
     圖3 指數函數模型頻率預測（cè）值與真實值比（bǐ）較由（yóu）於 Kriging 模型建立時考慮了數據的內在（zài）相關性，所有變（biàn）異函數獲得的近似模型（xíng）擬合精確度（dù）檢驗R2 檢驗值均大於0.95，四種變異函數都可以比較精確地表達一階固有（yǒu）頻率在加工空（kōng）間內的變化規律。四種模型中指數函數模型能夠更好地（dì）表達數據之間的相關性，近似精度最高。
 
      3.2 一（yī）階固有頻率的變（biàn）化規律
   
     以圖 2 中的超精密銑床（chuáng）為例，研究機床加工空間中（zhōng）一階（jiē）固有頻率的變（biàn）化規律。

      圖 4 中X 剖麵從左到右依次（cì）為x=-115 mm，x=0mm，x=115 mm。對三幅圖（tú）中同一(y, z)點值分析可知，隨著導軌在X 方向的移動，該超精密銑床工作空間中相同(y, z)位置一階頻率將產生（shēng）6%非線（xiàn）性（xìng）改變。圖（tú） 5 中Y 剖麵左到右依次為y=0 mm，y=112.5mm，y=225 mm。對（duì）三幅圖中同一(x, z)點值分析可知，隨著導軌在（zài）Y 方向的移動，工作空間的（de）相同(x,z)位置一階頻率幾（jǐ）乎沒有發生改變。由此可知，能通過Y導（dǎo）軌運動（dòng）到達的工作位置，應優先移動（dòng）Y導軌。如圖 6 所示（shì），圖中Z 導軌位置從左到右依次為（wéi）z=0 mm，z=80 mm，z=160 mm。隨著導軌在Z 方向的移動，工（gōng）作空間中相同(x, y)位置一階頻率將產生5%的非線性（xìng）的改（gǎi）變。由於Z 方向是加工敏感方向，這種變化（huà）在超精密加工中產生影響需要盡量避免。對三幅圖中同一點值分析可知，當Z 導軌位於定導軌中部(z=80 mm)位置時，工作空間（jiān）中(x, y)點位置的變化對整機頻率影響最小。

        
                                          圖4 工作空間內的一階頻率(X 剖麵)

      
                                                  圖5 工作空間內的一階頻率(Y 剖麵)
  
  

   
                                                     圖6 工作空（kōng）間內的一階頻率(Z 剖麵)
   
 
      根據以（yǐ）上分析可知，機床的一階固有頻率在工作空間是變化的，為了保持機床工（gōng）作的平穩，應優先使用頻率變化小的運動方式來保障機床具（jù）有更平穩的動態性能。以（yǐ）文中所使用的超精密銑（xǐ）床為例（lì），該機床在工作時應該盡量使得Z 導軌停留在定導軌（guǐ）的（de）中部，優先進（jìn）給Y 軸，減少X 導軌的運動來降低超（chāo）精密加工中機床性能變化對精（jīng）度帶來的不利影響。
   
     4 、對比研究
   
     機械設計分析中，傳統上更多地使用包括正（zhèng）交多項式模（mó）型[14-15]和響應麵模型[16-17]等多項式近似模型。近年來，神經網絡模型[18-19]作為近似分析模型在機床建（jiàn）模和機械產品性能分析中也（yě）日益（yì）廣泛（fàn）使用（yòng）。本（běn）節測（cè）試（shì）這三種模（mó）型（xíng）在機床動態特性分析中的適用（yòng）性。
      
     4.1 正交多（duō）項式模（mó）型
     
     將 上 述 27 個采（cǎi）樣點作為輸入點， 采用CHEBYSHEV 正交多項式建（jiàn）立機床一階固（gù）有頻率的空間動態模型（xíng）。可（kě）解得R2=0.471 63，由（yóu）於R2 小於0.9，誤差值過大，這（zhè）種算法構建的一（yī）階（jiē）固有頻率空間變化規律模（mó）型用於分（fèn）析時可信度非常低。
   
     計算出的一階固有頻率預測值與真實值比（bǐ）較及一階固有頻率分布如圖7、圖8 所示。由於誤差值過大，可認為這種（zhǒng）構造近似模型（xíng）的方法得（dé）到的近似模型用於（yú）分（fèn）析時可信度較低。

      
       圖7 正交多項式近似模型頻率預測值與真實值比較
    
     
                   圖8 正交多項式近似模型仿真結果

     4.2 徑向基（jī）神（shén）經網絡模型（xíng）
   

     徑向基神經網絡模型形參數取值 2.97，構造後得到R2=0.885 47。殘差分析如圖9 所示，仿真模型如（rú）圖10 所示。由於誤差值過大，可認（rèn）為這種構造近似模型的（de）方法得到的近似模型用於分（fèn）析時可信度較低。

       
     圖9 神經網（wǎng）絡模型模型（xíng）頻率預測值（zhí）與真實值比較
  
  

     
                 圖10 神經網絡模型仿真結果及分析

     4.3 二階響應（yīng）麵模型（xíng）
   
    根據給定的 27 個點的初值，可（kě）寫出二階響應麵模型(Response surface method, RSM)構造方程。二階響應麵模型R2=0.346 71，精（jīng）確度（dù）分析如圖11 所示，頻率分布仿真效果如圖12 所（suǒ）示。由於R2 遠小於0.9，誤差值過大，可認（rèn）為這種構造近似模型的方法得到的近似模型用於分析時可信度非常（cháng）低。

      
        圖11 RSM 近似模型頻率預測（cè）值與真實值比較（jiào）
  
 

     
                 圖12 RSM 近似模型仿真結果（guǒ）及分（fèn）析
 

     5 結論（lùn）
   
     (1) 本文使用Kriging 方法建立空間統計模型進行機床（chuáng）動力學特性研究，獲得了固有頻率、剛度在加工空間分布規律（lǜ），在完整工作空間中準確的描述（shù）超精密機床動力學特性。
     (2) 機床動力學特性的（de）剛度、固（gù）有頻率等主要因素隨著機床位置姿態的變（biàn）化規律可使用（yòng）Kriging方法描述。方法中的四種變異函（hán）數模型(指（zhǐ）數函數、高斯函數、線性函數、三次函數)，指數函數模型能夠更好的表達數據之間的相關性（xìng），近似（sì）精度最高。
     (3) 由於正（zhèng）交多項式模型（xíng）、響應麵模型（xíng）和（hé）神經網絡模型在模型建構中使用了數據獨立性假設，該假設與（yǔ）機床動態特性數據的空間相關（guān）性相違背，所以（yǐ）不適合用於機床動力學特性變化規律的描述。本文的研究結果為超精密機床的動力學設計提供了（le）新的設計分析方法和技術支持。為機床（chuáng）使用中加工位置和姿態的選擇和路徑規劃（huá）提供了原理和數據支持。