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高速電主軸角接（jiē）觸球軸承剛度及其對電主軸臨界（jiè）轉速的影響分析（xī）

2018-10-19 來源：浙江大學機械工程學院作者：黃偉迪，甘春標，楊世（shì）錫，徐立暉

摘要: 針對高速電主軸角接觸球軸承高轉速的特點，建（jiàn）立角接（jiē）觸球軸承的擬靜力學模型，分（fèn）析徑向力與電主軸轉速（sù）對軸承滾珠與軸承溝道的接觸角、接觸力（lì）的影響; 根據軸承與滾珠的受力（lì）平衡條件，研究角接觸球軸承（chéng）剛度受電主軸轉速與預緊力（lì）的影響; 基（jī）於 Timoshenko 梁理論，建立軸（zhóu）承－主軸的有限元模型（xíng），分析不同預緊力（lì）下角接觸球軸承對電主軸臨界轉速（sù）的影響。結（jié）果表明: 徑向力（lì）與（yǔ）電主軸轉速將改變軸（zhóu）承滾珠與軸（zhóu）承溝道的接觸角與接（jiē）觸力，減小預緊力與升高轉速會導致軸承的剛度降低，進而降低電（diàn）主（zhǔ）軸的臨界轉速; 需要綜合考慮角接觸球軸（zhóu）承離心力（lì）、內圈膨脹和預緊力等影響因（yīn）素，才（cái）能有效保障電主軸的安全運行。

關鍵詞: 角接觸球軸承; 軸承剛度; 電主軸; 臨界轉速; 預緊力

高速數（shù）控機床是高端裝備製造業的技術（shù）基礎和發展方向之一，而電主軸單元是高速數控機床的核心部件，其（qí）軸承技術將直接影響整台機（jī）床的加工精度和生（shēng）產效率（lǜ）。非接觸球軸（zhóu）承由於其低摩（mó）擦、低能耗、可以承載軸向力與徑向力等特性，在精密數控機床電主軸支撐部件（jiàn）中得到廣（guǎng）泛應用（yòng）。為此，眾多學者對角接觸（chù）球（qiú）軸承開（kāi）展了大（dà）量的研（yán）究工作。Harris提出了一類軸承溝道控製理論，建立了角接觸球軸承的擬靜力（lì）學模型。Li 等建立了軸承熱（rè）－機耦合模型，研究了軸承布局方式對角接觸球（qiú）軸承以及（jí）軸承－轉子係統的影響。Chen 等研（yán）究了軸承滾珠（zhū）在軸承溝道（dào）中滾珠與溝道接觸區域的運動狀態。Jiang 等研究（jiū）了陀螺力矩、軸（zhóu）承預緊力以及溝道波紋（wén）等對軸承力學特性的影（yǐng）響。Hernot通過測試軸承預緊力與軸承－轉子模型變形量之間的關係，分析軸承預緊力與對角接觸軸承非線性剛（gāng）度和軸承壽命的影響。曹宏瑞等考（kǎo）慮了離（lí）心力、陀螺力矩和軸承軟化效應，研究了主（zhǔ）軸－軸承係統內部的高速效應。李鬆生等研究了高速電主軸軸承在運行中的動態剛度變化。然而，針對高速電主（zhǔ）軸的角接觸球軸承的特點，國（guó）內外的研究尚（shàng）不（bú）夠充分。隨著電主軸轉速的升高，軸承內圈將會產生很大內圈膨脹，這將引（yǐn）起（qǐ）軸承滾珠與軸承溝道接觸應力與變形的變化，進而影響角（jiǎo）接觸（chù）球軸承剛（gāng）度和滾珠運動狀（zhuàng）態; 並（bìng）且在角接觸球軸承安裝的（de）過（guò）程（chéng）中，需要對軸承進行預緊，軸承預緊（jǐn）力的大小（xiǎo）也將會影（yǐng）響軸（zhóu）承剛度，進而影響電主軸的臨界轉速。因此，對（duì）高速（sù）電主軸的（de）角接觸球軸承內部（bù）參數（shù）和軸承剛度變化的研究（jiū）是非（fēi）常有意義的（de）。

本文基於角接觸（chù）球軸承（chéng）的擬靜力學模型，應用 Newton-Ｒaphson 方法，對角接（jiē）觸球軸承模型的（de）非線性方程組進行求解; 分析徑向力和電主軸轉速對軸（zhóu）承滾珠與軸承溝道的接（jiē）觸角、接觸力影響; 根據軸承與滾珠的受力平衡條件（jiàn），研（yán）究了電主軸轉速與預緊力（lì）對角接觸球軸（zhóu）承剛度的（de）影響; 建立軸承（chéng）－主軸的有限元模型，研（yán）究了高轉速下角接（jiē）觸球軸承對電主軸（zhóu）臨界轉速的影（yǐng）響。

1、高速電主軸（zhóu）角接（jiē）觸球軸承的擬靜力學（xué）模型

角接觸球軸承擬靜力學模型是用（yòng）於研究軸承在外載荷和（hé）慣性（xìng）效應等條件下的運動（dòng）學和力學問題，Jones最早建立了球軸承的擬靜力學分析模型（xíng），並提出軸承溝道控製理論。De Mul 等改進並完善了角接觸球軸承的擬靜力學模型。本節考慮高轉速下角接觸球軸承滾珠受（shòu）到離（lí）心（xīn）力和內圈膨脹效（xiào）應等因素，建立高速電主（zhǔ）軸角（jiǎo）接觸球軸承的擬靜力學模型。

1． 1 角接觸球軸承滾珠運動學分析（xī）

圖 1 角接觸球軸承模型（xíng）

當角接觸球軸承運行時，由於軸承滾珠受到離心力的作用，軸承的內、外圈溝道的曲率（lǜ）中心與軸承滾珠的中心將不在同一條線（xiàn）上。在軸承安裝過程中，外圈固定在軸承（chéng）座上，故假設軸承外圈溝道的（de）曲（qǔ）率中心固定不變，內圈溝道的（de）曲率中心在外載荷的作用下產生位（wèi）移，軸承（chéng）滾珠受到離心力的作用，滾珠的中心也將發（fā）生變化。軸承（chéng）內圈曲率（lǜ）中心、軸承滾珠中心受載前後的變化如圖 2 所示。

圖（tú） 2 軸承內圈曲率中（zhōng）心（xīn）變化圖

表 1 主軸單（dān）元尺寸

角接觸球軸承運轉過程中軸承主要承載徑向載荷，由式( 7) 和( 13) 可以求得（dé）軸承滾珠與軸承溝道的接（jiē）觸角與接觸力，圖 5 給出（chū）了軸承在 500 N 預緊力、電主軸轉速為 20 000 r/min 的情況下，軸承分別受到 0 N、100 N、150 N 和 200 N 徑（jìng）向力（lì）的作用下，不同位置處軸承滾珠與軸承內、外圈溝道接觸角和接觸力（lì）的變化（huà）情（qíng）況。由圖 5( a) 和圖 5( b) 可知，軸承滾珠與內圈（quān）溝（gōu）道（dào）的接觸角在 0°位置為最小值（zhí），180°位置為最大值，軸承滾珠與外圈溝道（dào）的接觸角變化（huà）相反，在 0°位置為最大值（zhí），180°位置（zhì）為最小值; 在 90° 和 270° 位置處（chù），軸承滾珠與軸承內、外圈溝道的接（jiē）觸角並不受徑向力的影響，與徑向力 Fr為 0 N 時滾珠與內、外圈溝道的（de）接觸角相同; 軸承的徑向力越大，軸承滾（gǔn）珠（zhū）與軸（zhóu）承內、外（wài）圈溝道的接觸角變化值越大，並且接觸角（jiǎo）都成周期變化。

由圖 5(c)和圖 5(d) 可知（zhī），軸承滾（gǔn）珠與內、外圈溝道的接觸力在0°和 180°位置分別達到最大值或最小值; 在 90°和 270°位置處，軸承滾珠與軸承內、外（wài）圈溝道的接觸力不受徑向力的影響，與徑力 Fr為（wéi） 0 N 時滾珠（zhū）與（yǔ）內（nèi）、外圈溝道的接觸力（lì）相同，且軸承徑（jìng）向力越大，軸承滾珠與內、外（wài）圈溝道接觸（chù）力的變（biàn）化範圍也越大，並（bìng）且接觸力成周期變化。

圖 5 徑向力對滾（gǔn）珠與軸承溝道的接觸角及接觸力的影響

此外，考慮（lǜ）電主軸轉速將會引起滾珠離心力的增加，圖 6 給出了角（jiǎo）接觸球軸承在 500 N 預緊（jǐn）力（lì）、200 N徑向力的情況下，電（diàn）主軸轉速分別為（wéi） 10 000 r/min、15 000 r / min、20 000 r / min 時（shí），不同位置處軸承（chéng）滾珠與軸承內、外圈溝道接觸角和（hé）接觸（chù）力的變化情況（kuàng）。在圖6( a) 和圖 6( b) 中看到，隨著（zhe）電主軸轉速的升高，軸承滾珠與內圈接觸角增大，與外圈接觸角減小，並且接觸（chù）角的變化範圍增大; 由圖 6( c) 和圖 6( d) 中看到，隨著（zhe）電主軸轉速的升高，軸（zhóu）承滾珠與內圈接觸力減小，與（yǔ）外圈接觸力（lì）增大。

承滾珠在 0°時接觸力達到最大值，相比於電主軸轉速為 10 000 r/min 時，電主軸（zhóu）轉速達到15 000 r / min 和 20 000 r / min 軸承滾珠與內圈接觸力分別下（xià）降（jiàng）了 2． 29% 和 4． 22% ，而軸承滾珠與外圈接觸（chù）力分別增加了 7． 77% 和 19． 97% ，由此可見當電主軸轉速升高（gāo），由於內圈膨（péng）脹與滾珠離心力等原（yuán）因，軸承滾（gǔn）珠與外圈接觸力（lì）急劇（jù）增（zēng）加，由 1． 4 節可以看出，當滾珠與內外圈接觸角與接觸力發（fā）生變化時，軸承剛度會隨之改變。

圖 6 電主軸轉速對滾珠與軸（zhóu）承溝道的接觸角及接觸力的影響

由式( 29) 、( 30) 可以求出角接觸球軸承的剛度矩陣，圖 7 給出了軸承在不同預緊力的情況（kuàng）下（xià），電主軸轉速對軸承剛（gāng）度（dù）的影響。從圖中可以（yǐ）看出（chū），軸承的徑向剛度和角剛度隨著電主軸轉速的變化表現出非線（xiàn）性改變，在轉速增加時，軸承的剛（gāng）度一開始變化較小，在一定轉速內（nèi）急劇下降，當轉速較高時，軸承的剛度趨於穩定。根據不同預緊（jǐn）力下的（de）軸承剛度變化曲線可以看（kàn）出，當（dāng）軸承（chéng）的預緊（jǐn）力（lì）越大，初始剛度增加。在電主（zhǔ）軸轉速升（shēng）高至 22 000 r /min，預緊力為100 N 時（shí），軸承（chéng）的徑向剛（gāng）度和角剛度分別下降了75 ． 01 % 和 48 ． 21 % ; 預緊力為（wéi） 300 N 時，軸承的徑向剛度和角剛度分別下降了 65． 92% 和 47． 07% ; 預緊力為 500 N 時，軸承的徑向剛度和角剛度分別下降了（le） 53． 12% 和 37． 57% ; 由此可見軸承的預緊力越大，軸承剛度下降的趨勢越慢，且在軸承轉速較高的情況下（xià）才開始（shǐ）下降。

圖 7 不同預緊力下（xià）軸承剛度（dù）隨電（diàn）主軸轉速的變化

電（diàn）主軸在高速（sù）運（yùn）行過程中，角接觸球軸承在預緊力的（de）作用下，軸承的剛度隨著電主（zhǔ）軸轉速的增加而降（jiàng）低，軸承（chéng）剛度的下降將導致轉子臨界轉速下降，圖 8 給出了（le）軸承在 500 N 預緊力的作用下，電主軸轉速對電主軸臨（lín）界轉速的影響。當電主軸（zhóu）轉速為 22 000 r/min 時，前三階臨界轉速與靜止（zhǐ）時相比分別（bié）下降了 3． 61% ，3． 47% ，4． 01% 。圖 9 給出了軸承在不同預緊（jǐn）力情況下電主軸的一階（jiē）臨界轉速變化。當（dāng）軸承的預緊（jǐn）力為 100 N 的時候，轉子的一階臨（lín）界轉速在 4 000 r/min 開始下降; 當軸承的預緊力為 300 N 的時候，轉子的一階臨界（jiè）轉速在10 000 r / min時開始下降; 當軸承的預緊力為 500 N 的（de）時候，轉子的一階臨（lín）界轉（zhuǎn）速（sù）在 12 000 r/min 時開（kāi）始下降（jiàng）。

當電主軸轉速達到 22 000 r/min 相比（bǐ）靜止時，軸承預緊（jǐn）力為100 N 的時候，電主軸的一（yī）階臨界轉速下降了9． 21% ; 而當軸承的預緊（jǐn）力增加到 300 N 時（shí），電主軸（zhóu）的一階臨界轉速下降了 5．57%; 而當（dāng）軸承的預（yù）緊力增（zēng）加到 500 N 時，電主軸的一階（jiē）臨界轉速下降了 3．61%。可見，提高（gāo）軸承的預緊力可以延緩臨界轉速隨電主軸轉速下降的趨勢。

圖 8 電主軸（zhóu）前三階臨界轉速隨轉速的變化

圖 9 不同預緊力下一階臨界轉速隨（suí）轉速的變化

4 、結論

本（běn）文針（zhēn）對高速電主軸角接觸球（qiú）軸承高轉速的特點，建立（lì）角（jiǎo）接觸球軸承的擬靜力學模型，研究了角接觸球軸承徑向力和電主軸轉速對軸承滾珠與軸承溝道的（de）接觸角、接觸（chù）力的影響; 進而給出了軸承剛度隨電主軸轉速（sù）和預（yù）緊力影響（xiǎng）的變化趨勢; 最後（hòu）建立軸（zhóu）承－主軸的有限元模型，研究了（le）不同預（yù）緊力下（xià）角接觸（chù）球軸承在（zài）高轉速下對電主軸臨界轉速的影響，得到如下結（jié）論:( 1) 角（jiǎo）接觸球（qiú）軸承的滾珠在運轉過程中（zhōng）主（zhǔ）要受軸承徑向載荷，當軸承滾珠方（fāng）位角為 90°和 270°時，將不受徑向力改變的影響，當方位（wèi）角為 0°和 180°時，接觸角和接觸力會達到最大或最小值，此時受徑（jìng）向（xiàng）力影響（xiǎng）為最大。( 2) 隨（suí）著電主軸轉速增加，受（shòu）離（lí）心（xīn）力與內（nèi）圈膨脹影響，軸承滾珠與內圈接觸角增大（dà），與外圈接觸角減小，與內（nèi）圈接觸力減小，與外（wài）圈接觸力增大，並且與外圈接觸力的增幅較大。受轉速影響，滾珠（zhū）與軸承溝道的（de）接觸角與接（jiē）觸力呈非線性變化，進而（ér）將影響軸承剛度的變化。(3) 高速電主軸角接觸球（qiú）軸承的剛度會隨著電主軸轉速的升高而減小，會隨著軸承預緊力（lì）的增加而增大，並且增加預緊力可減緩軸承剛度隨轉速升高而減小的趨勢。(4) 角接觸球軸承剛度會對電主軸的臨（lín）界轉速產生較大影響，隨著電主軸轉速升高，電主軸的前三階臨界轉速受軸承剛度影響（xiǎng）而降低，增加軸承預緊力，可以增加電（diàn）主軸的臨界轉速，並且減緩臨界轉速下降的趨勢（shì）。

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