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數控機床熱誤差補償模型穩健性比較分析（xī）

2015-12-18 來源：數控機床市場網作者：合（hé）肥工業大學儀器科（kē）學與光電工程學院苗恩銘

摘要：數學模型（xíng）的精度特性和穩健性特性對數控機床熱誤差（chà）補償技術在實際中的實施性影（yǐng）響不容忽視。論文對數控加工中心關鍵點的溫度和主軸（zhóu） z 向的熱變形量采（cǎi）用多種算（suàn）法建立了預測模型，對不（bú）同算法擬合精度進行分析。同時全年進行熱誤差跟蹤（zōng）試驗，獲得了機床在不同環境溫度和不同主軸轉速的試驗條件（jiàn）下的敏感點溫度和熱誤差值。以（yǐ）此為基礎，對各（gè）種預（yù）測模型的預測精度進（jìn）行比較驗證不同模型的穩健（jiàn）性。結（jié）果表明，多（duō）元（yuán）線性回歸算法的最小一乘、最（zuì）小二乘估計（jì）模型以及分布滯後模型在改變試驗條件時預測精度（dù）下降，而基於支持向量回歸機原理的熱誤差補償模型仍能保持較好的預測精度，穩性強。這為數控機床熱誤差補償模型的選擇提供了具有實用價值的參考，具有很好工程應（yīng）用性。

關鍵詞（cí）：數控機床；熱誤（wù）差；穩（wěn）健性；多元線（xiàn）性回歸模型；分布滯後模型；支持向量回歸機

0 前言

在數控機（jī）床的各種誤差源中，熱誤差已經成為影響零（líng）件（jiàn）加工精度主要誤差來源。減少熱誤差是提高數控機床加工（gōng）精度的關鍵。在熱誤差補償中，建模技術則是重（chóng）點。由於機床熱誤差在很大程度（dù）上取決於加工條件、加工周期、切削液的使用以及周圍（wéi）環境等等多種因素，而且熱（rè）誤差呈現非線性（xìng）及交互作用，所以僅用理論分（fèn）析來精確建立熱誤差數學模型（xíng）是相當困難的。最為常用的熱誤差建模方（fāng）法為（wéi）試驗（yàn）建模法，即根據統計理論對熱誤差數據和機床（chuáng）溫度值作相關分析。楊建國（guó）等提出了數控機床熱誤差分組優化建（jiàn）模，根據溫度（dù）變量之間的相關性對溫度變量進（jìn）行分組，再與熱誤差進行排列組合逐一比較選出溫度敏感點用於回歸（guī）建模。韓國的KIM 等運用有限元法建立了機床（chuáng）滾珠絲杠係統的（de）溫度場。密執安大學的YANG 等運用小腦模型連接控製（zhì）器(CMAC)神經網絡建立了機床熱誤差模型。

ZENG等用粗（cū）糙（cāo）集人工神（shén）經網絡對數控機床熱誤差分析與建模，並對建模精度進行（háng）了論證。Chen Cheng等運（yùn）用聚（jù）類分析理論和逐步（bù）回歸選擇三坐標測量機熱誤差溫度敏感點，用PT100測量溫度、激光（guāng）幹涉儀測量三坐標（biāo）測量機熱誤（wù）差，建立了多元線性模型。由（yóu）於這些（xiē）建模方式是離線和預先建（jiàn）模，而且建（jiàn）模數（shù）據采集於某（mǒu）段時間，故用這些（xiē）方法建立起來的熱誤差數學（xué）模型的穩健性顯然不夠，一般隨著季節的變化難以長期正確地預（yù）報熱誤差。近年來，支持向量機是發展（zhǎn）起來的一種（zhǒng）專門研究小樣本情況（kuàng）下的機（jī）器學習規律理論，被認為是針對小樣本統計和（hé）預測學習的最佳理論。支持向量機建立在VC維理論基礎上, 采用結構風險最小化原則, 不僅結構簡單, 且有效解決了模型選擇與欠（qiàn）學習、過學習、小樣本、非線性、局（jú）部最優（yōu）和（hé）維（wéi）數災難等問題（tí），泛化能力大大提高。本文對Leader way V-450型（xíng）數控加工中心進行熱誤差測量試驗，采用模糊聚類（lèi）與灰色關聯度理論綜合（hé）應用進行了溫度敏感點選擇，同時利用多（duō）元線性回歸模型，分布滯後模型，支持向量回歸機模（mó）型分別建立熱誤差補償模型，並對多元回歸模型分（fèn）別采用最小二乘和最小一乘估計，通過比對（duì）各種模型的穩健性，從而為數控機床熱誤差補（bǔ）償建模方法的選擇提供了參考，具有實際的工程應用（yòng）價值。

1 熱誤差建模模型

1.1 多（duō）元（yuán）線性回歸模型

多元線（xiàn）性（xìng）回歸(MLR)是一種用統計（jì）方法尋求多輸入和單輸（shū）出關係（xì）的模型。熱誤差的多元線性回歸模型（xíng）以多個（gè）關鍵溫度敏感點測（cè）量的溫度增量值為（wéi）自變量，以熱變形量為因變量（liàng），其通用表達式為

式中，

為關（guān）鍵溫度敏感點溫度測量增量值，

為溫度變量的係數，y i 為熱變形測（cè）量值， ei是與實際測量值 yi存在的偏差,也（yě）稱（chēng）殘差。

同時，采用最小一乘和最小二乘兩種準則對線性回歸模型進行估計計算。最小二乘法在方法上較為成熟，在理論上也較為完善（shàn），是一種常用的最（zuì）優擬合方法，目前廣泛應用於科學技術領（lǐng）域的許多實際問題中，在數（shù）控機床建模技術中也有很多的應用。而最小（xiǎo）一乘法受異常值的影響較小，其穩健性比最小二乘法的要好，但最小一乘回歸屬於不可微問題，計算具有較大的難度。文中針（zhēn）對最小一（yī）乘的算法采用（yòng）文獻[13]的算法理論和 Matlab 程序。最小（xiǎo）二乘準則——殘差平（píng）方和最小，即

最小一乘準則——殘差絕對值和最小，即

1.2 分布滯後模型

如（rú）果因變量不僅與一個或多個解釋變量的當（dāng）前值有關係而且與（yǔ）其（qí）若幹滯後值有關係，描述這種關係的模型稱為分布滯後模型（xíng）(DL)，記為

對於滯後階數（shù） n 的確定，由於試驗測量數據量比較大，所以可以采用簡單的權（quán）宜估計法。即取（qǔ）n=1,2,…,i，對不（bú）同的 i 條件下經最小二乘擬合，當滯後變量的（de）回歸係數（shù）開始變得統計不顯著（zhe），或其（qí）中有一（yī）個變量的係數改變符號時，i-1 就是最（zuì）終的滯後階數。

1.3 ε- 支（zhī）持向量回歸機模型（xíng） (SVR)

統計學習理論是由 VAPNIK[11]建立的一種專門研（yán）究有限（xiàn）樣本情況下（xià）機器學習（xí）規律的理論，支（zhī）持向量機是在這一理論基礎上發展起來的一種新的分類和回（huí）歸工具。支持向量機（jī）通過結構風險最小（xiǎo）化原理來提高泛化能力，並能較好地解決小樣本、非線性、高維數、局部極小點等實際問題，其已在模式（shì）識別、信號（hào）處（chù）理、函數逼近等（děng）領域應用。

1.3.1 ε-支（zhī）持（chí）向量（liàng）回歸機的原（yuán）理

根（gēn）據結構風險（xiǎn）最小化（huà）原理，ε-支持向量回歸機的函數建模問題就是尋找使下麵目標函（hán）數風險

優（yōu）先選擇高斯徑（jìng）向基核函數用於熱（rè）誤差建模（mó）。當（dāng）選用高（gāo）斯徑（jìng）向（xiàng）基核函數時，訓練（liàn）結（jié）果精（jīng）度以及穩健性取決於g和C的取值。支（zhī）持向量機參數選擇方法通常包括基於網絡（luò）遍曆尋（xún）參算法、交（jiāo）叉驗（yàn）證（zhèng）法等，而交叉驗證（zhèng）方法應用比較簡單、實用（yòng）性強，本文根（gēn）據交叉驗證（zhèng）法優化模型參數[14]。

2 試（shì）驗設（shè）計

2.1 試驗方案

本（běn）文對 Leader way V-450 數控加工中心主（zhǔ）軸 z向進行熱誤差測量試驗，各（gè）傳感器的安放位（wèi）置及作用如表 1 所示，溫度傳感器（qì）和電感測微儀具體分布位置如圖 1 所示。

試驗（yàn）對數控加（jiā）工中心在不同季節(不同環境溫度（dù）)、不同主軸轉速下進行了九次熱誤（wù）差（chà）測量（liàng）試驗，測量的次數、轉速（sù）及環境溫度如表 2 所示。

2.2 溫（wēn）度敏感點的篩選

為便於實際工程應（yīng）用，針對溫度傳感器數目進行優化挑（tiāo）選，合理有效地篩選溫度傳感器有助於（yú）提高機床熱誤差建模（mó）精度。本文采用模糊聚類與回歸關聯度相結合的方法（fǎ）選擇熱（rè）誤（wù）差關鍵敏（mǐn）感點（diǎn），具體方法，最終選擇 T6 和 T7 作為溫度敏感點。

3 建模模型的穩健性分析

穩（wěn）健性是指在模型與實際對象存在一定差距時，模型（xíng）依然具有較滿意的模擬預測性能。本文利用多元線性回歸的最小（xiǎo）二乘、最小一乘估計模型，分布（bù）滯後模型以及支持向量回歸機模型對 K16000數據分別建立預測模（mó）型，先進行（háng）各模型對本批數據的擬（nǐ）合精度進行分析，隨後將該模型（xíng）用於其他批（pī）次采樣數據的預測，以判斷模型的穩健性。同時，根（gēn）據建（jiàn）模（mó）數據的來源批次特征，對各算法給予了穩健性分析。

3.1 不同算法的模型擬合（hé）精度（dù）分析

各個（gè）模型的數（shù）學公式如下。

MLR 最小（xiǎo）二乘估（gū）計公式

式中，T6為 T6 處溫度增量；T7為 T7 處溫度增量。

MLR 最小一乘估計公式

式中，T6為 T6 處溫度增量，T7為 T7 處溫度（dù）增量。DL 模型公式：由權宜估計法判斷分布（bù）滯後模（mó）型的後階數為二階

式中，通過交叉驗證方法優化參（cān）數敏感函數g=0.002 6，懲罰係數 C=24 834；通過（guò）軟件 LIBSVM在 Matlab 上運（yùn）行，可（kě）以（yǐ）得到支持向量、支持向（xiàng）量對應的係)以（yǐ）及（jí）常數（shù）項 b=49.551，l為數據量(本批次為 110 個)。各模型對 K16000數據擬合標（biāo）準差如表 3 所示，擬（nǐ）合效果如圖 2 所示。

由表 3 可知，擬合精度 SVR 最優，DL 其次，擬（nǐ）合精度最差（chà）的是 MLR 最小一乘算法。為比對各（gè）算法穩健性（xìng），利用各個模型建立的預測模型對其餘（yú）批次（cì）數據按（àn）照同轉速不同溫度（dù）(環境溫度變化範圍較（jiào）大)、同溫度(環境溫度變化（huà）較小)不同轉速不同（tóng）溫度(環境（jìng）溫度變化範圍較大)不同（tóng）轉速三（sān）種類型進行數據預（yù）測（cè），根據（jù）預測效果對各個補償模型進（jìn）行（háng）穩健性分析。

3.2 同轉速不同環境溫度（dù）分析（xī）

以 K16000數據建立的預測模（mó）型對 K26000數據進行預測精度分析，分（fèn）析效果如圖（tú） 3 所示；再對K36000數據進行預測精（jīng）度分析，分析效果如（rú）圖 4 所示。各個預測模型的預測標準差如表（biǎo） 4 所（suǒ）示。

通過分析比較可得，轉速不變，環境溫度增加較小時，各個預測模型的預測（cè）效果仍（réng）然保持較好，但（dàn）是隨著環境溫度增加較大時，多元線（xiàn）性回歸的（de）最小二乘（chéng）、最小一（yī）乘（chéng）模型以及分布滯後模型（xíng）的預測效果變差，其中多元線（xiàn）性回（huí）歸的（de）最小二乘算（suàn）法相對較（jiào）好，隨後是最（zuì）小一乘模型，預測效果最差（chà）的是分布滯後模型。除此之外，支持向量回（huí）歸機模（mó）型（xíng）仍能保持很好的預測精度。

3.3 同溫度不同轉速分析

針（zhēn）對溫（wēn）度變化範圍較小的不同轉速測量（liàng）數（shù）據，以 K16000數據建立的（de）預測（cè）模型對（duì）K14000和 K12000數（shù）據進行預（yù）測精度（dù）分析，根（gēn）據分析數據結果來判斷不同算法建立的模型的穩健性。先對 K14000數據進行分析，分（fèn）析效果如圖 5 所示；然後分（fèn）析 K12000數據，分析效（xiào）果如圖 6 所示（shì）。各個預測模型的預測標準差如表 5 所示。

通過分析比較可得（dé），環境溫度基本不變，轉速逐漸降低時，最小（xiǎo）二乘和最小一乘模型仍具有一定的預測精度（dù），分布滯後模型預測效果越來越差，而支持（chí）向量回歸機模（mó）型始（shǐ）終保持很好的預（yù）測（cè）精（jīng）度。各算法穩（wěn）定性優劣依次為支持向量回歸機模型、最（zuì）小二乘、最小一乘和分布滯（zhì）後模型。

3.4 不同（tóng）溫度不同轉速分析

針對環（huán）境溫度（dù）變化時的不同轉速測量數據，以 K16000數據建立的預測模型對 K24000、K22000、K34000和 K32000數據進行預測精度分（fèn）析，根據（jù）分析數據結（jié）果（guǒ）來判斷（duàn）不同算法建立的模（mó）型的穩健性。各個預測模型的預測標準差如表 6 所示。

通（tōng）過分析比較可得，環境溫度變化幅度較小，轉速逐漸降低時，最小二乘和支持向量回歸機模型具有（yǒu）很好的預測精度，最小一乘模型的預測精度逐漸（jiàn）降（jiàng）低，分布滯後模型預測效果逐漸變差；環境溫度變化幅度較（jiào）大時(超過 10℃)，轉速逐漸降低時，隻有支（zhī）持向量回歸機模型仍保持較（jiào）好的預測精度，其他的（de）預測模型的預測效果很差。各算法穩定性優劣依次為支持（chí）向量（liàng）回歸機模型、最小二（èr）乘、最小一乘和分布滯後模型。

4 結（jié）論（lùn）

(1) 通過長期測（cè）量數控機床熱誤差和關鍵敏感點溫度來獲得多批次（cì）的試（shì）驗數據，通過多種（zhǒng）模型算法進行了預測建模，從機床主軸同轉速不同環境溫（wēn）度、同環境溫度不同轉速、不同轉速不同環境溫度等三種情況對預測模型的精度與穩定性進行了分（fèn）析。

(2) 從試驗效果可知，分布滯後模型具有很好的擬合精度（dù），但以一組采樣數據建立的分（fèn）布滯後模型其穩健性較差。僅以一組采樣數據進行建模，最小一乘（chéng）模型的穩健性並不優於最小二（èr）乘模（mó）型（xíng），反而略差（chà）。最小一乘法穩健性高於最小二乘（chéng）法的說法，是基於對異常數據處理方麵（miàn）的優勢，而數控機床熱變形測量數據中出現異常數據的概率很小，使（shǐ）得該法的優勢（shì）並未得到體現，而且數控（kòng）機床熱誤差（chà）數據樣本量較大（dà），最小一乘算（suàn）法複雜（zá），相對於最小二乘法，最小一乘法在數控（kòng）機床熱誤差預測建模中的實際應用效果反而不如最小二乘法。

(3) 支持向量回歸機模型擬合精度高（gāo），預測效果（guǒ）保持性好，穩健性強（qiáng），該算（suàn）法作為數控機床熱誤差補償的（de）建模算法具有工程（chéng）應用基礎。

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