基於剛體動力學的五軸數控機床模擬係統研究
2016-8-1 來源：天津職業技術（shù）師範大學 作者：嶽剛
把操作者手工編寫（xiě）或通過軟件自動編寫的工件加工（gōng）程序，翻譯成運動控製卡可以識別的刀具路徑軌跡，是數（shù）控係統的主要工作之一（yī）。這（zhè）個識別（bié）過程實際上是將工件加（jiā）工程序中工件坐標係中的刀具路徑（jìng）軌跡經過一定的計算[20]，轉變成為機床（chuáng）坐（zuò）標係中的刀具路徑軌跡。所以必須正確的對刀具路徑軌跡（jì）進行（háng）運（yùn）動求解計算才能實現該過程。五軸數控機床通過在三個線性軸運動的基礎之上增（zēng）加了兩個回轉軸的運（yùn）動[21]，其運動的複雜性也相應的增加，對於編程人員和機床操作人員來講，增加了一（yī）定（dìng）的難度。對五軸數控機床進行正確（què）的運（yùn）動求解，有利於深入掌握它的（de）運動規律，最大程度地發揮其在加工（gōng）中高效、高精等優勢。
從（cóng）數學（xué）的角度講，物體運動求（qiú）解的本質就（jiù）是三維圖形的線性變換，其中包括基礎線性變換，諸如平移變換、旋轉變換等。當前國內外相關行業的研發人員已開始對（duì）適合五軸數控機床進行分析的通用算法的探究，不過目前針對五（wǔ）軸數控機床的運動分析大多是在假定（dìng）機（jī）床所有移動軸一一正交等限製條件下進行的[22]，並且也沒有考慮機床本身的製造精度。所以，綜合考慮多因子的五軸（zhóu）數控機床運動分析理論的探究是今（jīn）後五軸數控（kòng）機（jī）床運動學探究最主要的領域之一。
本章在描述了運動分（fèn）析（xī）時所必須借助的基礎線性代數原理，分別例舉了采用三種非常普遍（biàn）的構（gòu）成形式的五（wǔ）軸數控機床在（zài）一定的限製條件下的運動分析算法。因為機床的（de）製造精度與安裝精（jīng）度（dù）有一定限製（zhì），故對於五軸數控機床（chuáng）進行運動分析還需（xū）要結合機床自身具有的許多誤差，來（lái）修正這些誤差對工件切削精度的影響。
3.1 運動分析
在三維空間中，任何物體的運動方式都可以概括為幾何體（tǐ）的平移、旋轉等許多（duō）基（jī）礎的（de）線（xiàn）性（xìng）變換[23]。從線性代數的角度講，這些變換全部可以看做幾何體的幾何變換，因此（cǐ）又把幾何體的線性變換稱為幾（jǐ）何變換，上述的變換能夠通過線性代數中的矩（jǔ）陣乘（chéng）法來完成。
3.1.1 平（píng）移變換
幾何體在三維空間從一個坐標點沿著任意直線運動到另（lìng）一個坐標點的過程叫（jiào）做平移變換[23]，在整個（gè）變換中不會使幾何體的外形和尺寸發生變化。對應的齊次方程為：
假定空間幾何體的起（qǐ）始位置為（x，y，z），在（zài）整個運動過程中，幾何體沿著 X、Y、Z 三個方向（xiàng）各（gè）運動了 u、v、w 個單位長度，運動結束後，新的（de）位置為（X、Y、Z），那麽該（gāi）幾何體的位置變換對應的方程為：
3.1.2 旋轉（zhuǎn）變換
所（suǒ）謂旋轉變換，就是讓某個物體繞著 X、Y、Z 三個軸中的一個軸旋轉（zhuǎn）一個角（jiǎo）度。此時，可以利用（yòng）右手螺旋法則來判斷轉角的正負[24][36]。（1）圍繞 X 軸轉動，X 方向坐（zuò）標不（bú）發生變化（huà），隻有 Y、Z 兩個方向坐標發生變化。對應的方程為：
（2）圍繞 Y 軸轉動，Y 方向坐標不發生變化，隻有 Z、X 兩個（gè）方向坐標發生變（biàn）化。對應的（de）方程為：
（3）圍繞 Z 軸轉動（dòng），Z 方（fāng）向坐標不發生變化，隻有 X、Y 兩個（gè）方（fāng）向坐標發生變化。對應的方程為：
3.1.2.1 圍繞過（0,0）點（diǎn）的任意（yì）直線的旋（xuán）轉（zhuǎn）變換
直線 OD 是給定三維坐標係中過（0,0）點的任意直線，點 F 是坐（zuò）標係中（zhōng）任一不在直線OD 上的點（diǎn），若點 F 圍繞直線 OD 轉動（dòng）後與 G 點（diǎn）重合，那麽相應旋轉變（biàn）換的計算方（fāng）法為[25]：
圖3-1 繞過坐（zuò）標原點直線的旋（xuán）轉
（1）令直線 OD圍繞 X 軸（zhóu）轉動轉角後（hòu）與麵 XOZ 重合，新的直線成（chéng）為 OE。這個變換能夠用式 3-3 來完成。
（2）令直線 OE 圍繞 Y 軸轉動轉角 θ 後與 z軸重（chóng）合，這個（gè）變（biàn）換能夠用式 3-4 來完成。
（3）使用式 3-5 令點 P 圍繞 Z 軸轉動轉角 α。
（4）運算和（2）中互逆，也就是（shì）令直線 OE 圍繞 Y 軸旋轉轉角（jiǎo）-θ，即使用式 3-4 的互逆矩陣來完成。
（5）運算（suàn）和（1）中互逆，即使用式 3-3 的互逆矩陣來完（wán）成。最後能夠獲得圍繞過（0,0）點的任意直線 OD 的旋轉矩陣1 1R x y z y xT T T T T T= 。
3.1.2.2 圍繞過其他已知點的任一直線的旋轉變換
L 是三維空間中過點的任一直線（xiàn），它的方向向量（liàng）是，那麽空間幾（jǐ）何體圍繞直線 L 轉動轉角的相應轉換能夠分為如下三步：
圖（tú） 3-2 繞過任意（yì）點 P 直線的旋轉變換
（1）通過空間幾（jǐ）何體與直線（xiàn） L 共同進行平移（yí）令點 P 移動到（0,0）點位置，轉換矩陣pT為：
（2）在前一個步驟完成之後，令空間幾何體圍繞 L 轉動轉角α ，對應轉換矩陣是RT 。
（3）令空間幾何體與 L 共同（tóng）進行平移變換回到最初坐標，對應轉換矩陣是1PT：
最後，能夠獲（huò）得總的（de）轉換矩陣：
3.2 常見五軸數（shù）控機床的構（gòu）造模式（shì）
從三維幾何的角度講，每一個物體都擁有六個獨立的自（zì）由度[27]。舉個例（lì）子，對於一個工件來說，工件的位置是固定的，所（suǒ）以，對於工件來說，主（zhǔ）軸就具備了六（liù）個獨立的自由度。在加工過程中（zhōng），主軸上的刀（dāo）具對（duì）工件進行切削，這時刀具軸線也就是主軸軸線和工（gōng）件之間的距離受（shòu）到刀具半徑的限製，因（yīn）而實際（jì）上隻（zhī）有五個自（zì）由度可用，理論上講實現（xiàn）五軸（zhóu）聯動就可以完成所有空間（jiān）複雜曲麵的（de）加工[28]。
五軸數控機（jī）床通常指擁有五個以上可聯動軸的數控機床[29]，依據不同的自由度（dù）組合（hé）方式也就是固定或變相固定（dìng）哪一個的自由度，理論上能夠形成成四種不同（tóng）的組合，依次為：X、Y、Z 三個軸方向上的自（zì）由度和繞（rào）任意兩個軸回轉的自由度組合、任（rèn）意兩個直線方向自（zì）由度和（hé）三個回（huí）轉自由（yóu）度組合、一個（gè）直線方向（xiàng）自由度和四個回轉自由度組合（hé）、五個回轉自由度。但在實際使用過程中，需要考慮機床的綜合性能，特別是（shì）加工精（jīng）度、係統壽命等關鍵要素，所以，當前市場上（shàng）常見的五軸數控機床（chuáng）都普遍采用第一種方式的自由度組合[30]。依據不同的回轉自由度（dù），還能夠對五軸聯動（dòng）數控機床進行細分，可以分為三（sān）種，分別是：雙旋轉主軸頭（tóu）式、雙回轉工作台式、一回轉工作台加一旋轉主軸頭式[31]。
（1）雙旋轉主軸頭式
雙旋轉主軸頭式的五軸聯動數控機床示意圖如圖 3-1 所示（shì）。從圖中（zhōng）能夠（gòu）發現，機床的兩個回轉自由度（dù）全部布置（zhì）在主軸上，使得刀具能夠前後左右進行擺動，這樣理論（lùn）上可以使刀具繞中心點轉（zhuǎn）動到任意位（wèi）姿[32]，對（duì）於此類機床，其工作台無（wú）需進行轉動，因此工（gōng）作台的大小不受約束，允許設計者設計大型機床。這樣的布置形（xíng）式的特點在於機床整體承載性能大大增（zēng）強[33]，同（tóng）時加工空間也基本不受限製，其加工對象為（wéi）大型工件，所以大（dà）型龍門式五軸（zhóu）聯動數控機床普遍的（de）采（cǎi）用這種結構。此類機床兩個旋轉軸（zhóu）全部集中到了刀（dāo）具的上部，回轉軸部（bù）分結構緊湊，加工過程靈活（huó）；同時缺點也很明顯，因為主軸頭集成的擺動機構與傳動機構過於（yú）複雜，使（shǐ）得整個機（jī）床的剛度被大大降低。
（2）一回轉工作台加一旋轉主軸頭（tóu）式
這種類型的機床通過在機床的主軸頭上麵加一個回轉自由度，另外一個回轉自由度加在工作台上，主要（yào）通過加載在主軸和工作（zuò）台上（shàng）的兩個方向的回轉自由（yóu）度，這樣布（bù）置的好處就是兩（liǎng）個回（huí）轉軸的軸線方向都是（shì）固（gù）定不變的[33]，其示意圖如圖3-2 所示。這種結構的五（wǔ）軸機（jī）床，因為兩個方向的（de）回轉運動並未集中在一（yī）起（qǐ），所以采用這類布（bù）置方式（shì）的五軸數控機床（chuáng）優點是結構（gòu）簡單、整體剛（gāng）性好，缺點是靈（líng）活性不好。由於隻有一個回轉自由度在工作台上，導致整個機床的承載性能差，並（bìng）且隻能承擔的尺寸相對較小的加工任務，通常用來進行中等尺寸工（gōng）件的切削。
圖3 -1雙旋（xuán）轉主軸頭（tóu）結構五軸機床（chuáng） 圖3 - 2一擺動頭和一回轉台結構五軸機床
（3）雙回轉工作（zuò）台（tái）式
這種類型的五軸聯動數控機（jī）床（圖3-3）是由工作台承（chéng）擔兩個回轉自由度的，因為（wéi）主軸和工作台的運動是相對的（de），所以不論旋轉（zhuǎn）自由度布置在主軸上還是布置在工作台（tái）上，都能達到同樣的（de）加工效果從傳動鏈的先後順序能夠知道，采用這種布置方（fāng）式的機床的兩個旋轉軸有一個是定軸另一個是動軸。定軸就是指遠（yuǎn）離工件的隻具（jù）備一個旋轉自由度的（de）軸[34]，這個軸圍繞（rào）的（de）軸線（xiàn）方向在加工過程中是不會（huì）改（gǎi）變的；動軸是指跟著加工工件一同（tóng）擺動的旋轉軸，其所圍繞的旋轉軸線方向跟著一個定軸的運動而旋轉。采用這種布置（zhì）方（fāng）式的機床承載性能最差（chà），加工尺寸範圍最（zuì）小，整個係統剛性處於中等水平，通常用於中小尺寸工件的切削加工[35]。
圖3-3雙回轉（zhuǎn）工作台結構五軸機床
綜上所述（shù），無論五軸機床采用哪種布置方式，都同樣可以做到刀具對工件的（de）任意角度切（qiē）削。因為機床擁有兩個旋轉（zhuǎn）自（zì）由度，刀具可以（yǐ）在機床結構的限製下的任意空間角度對工件進行切削。在相應運動控製算法的支持（chí）下，能夠確保在整個（gè）切削過程中，刀具按（àn）照最佳的位姿來加工，而且可以（yǐ）防止機床發生運動幹涉[36]。所以，五軸聯動數（shù）控機床具備三軸、四軸機床所不（bú）具備（bèi）的的優越的性能（néng），能完成分任務更多，同時精度會更高[37]。
重點研發五軸數控機床模擬訓練機（jī）的意義在（zài）於：學習數控係統最好的方式是（shì）在實際機床上進行練習（xí），但是這樣需要大量的五軸數控機床，這對於學校來說是不現實的[38]。五軸數控機床（chuáng）模擬訓練機是國內首創（chuàng）能夠解決數控係統教學（xué）問題、數控編程人員學習問題的一個關鍵產品。
3.3 五軸數控機床的運（yùn）動（dòng）求解（jiě）
3.3.1 雙轉台型五軸數控機床的運動求解
雙回轉台型（xíng）五軸數控機床按照（zhào）旋轉軸的（de）不同，能夠具體分為 AB、BC、AC 三種[39]。因為這（zhè）三種不同選擇方式（shì）的運動變換計算過程沒有太大差別，所以在這裏隻探討了最（zuì）常（cháng）見的（de） AC 型組合（hé）方式的運動變換計算（suàn）過程（chéng）[40]。
傳統三軸數控機床隻具備 X、Y、Z 三個直線方向的（de）自由度[41]，所以沒有必要進行其他（tā）的（de）分析、數學建模、運算，隻需要將程序中（zhōng）的有關路徑控製方麵的 G 代碼翻譯成 XY、Z 三個軸方向上的運（yùn）動量，然（rán）後再進行聯合插補運動，最終就（jiù）能夠驅動三個運動軸（zhóu）切削工件。五軸數控機床除了擁有 X、Y、Z 三個軸之（zhī）外還有另外兩個回轉軸[42]，使（shǐ）得刀具可以相對於工件（jiàn）做直（zhí）線移動和（hé）回轉運動，所以在刀路運動計算上，需要六個數據來（lái）表達某一瞬時的刀尖點位置及刀具軸線位姿：（X， y ， z ）表示加工刀尖點的位（wèi）置，（ i ， j ， k ）表示加工刀具軸線的位（wèi）姿[43]。
在五（wǔ）軸機床（chuáng）中，刀具在對工件進行切削之前，需要嚴格采用五軸機床上的（de）結構形（xíng）式對其整個運動、切削過程進（jìn）行（háng）運動學分析，找出工件坐標係與機（jī）床（chuáng）坐標係的聯係，推算（suàn）出其（qí）中的轉（zhuǎn）換矩陣，充分利用（yòng）這個轉（zhuǎn）換矩陣[44]，能夠精確的轉換（huàn）某一瞬時的刀尖點位置及刀（dāo）具軸線位姿為 X、Y、Z 三個軸的移（yí）動和 A 、C 兩個旋轉軸的轉動，這一點是保證數控程序能夠正確被編譯的基礎。本節（jiē）會針對此推導過程做詳（xiáng）細討論[45]。
如圖 3-4 所示，記工件原點坐（zuò）標係為m m m0X Y Z ，機床原點（diǎn）坐標係為t t tO X Y Z ，以 A、C兩軸中心線交點作為機床坐標原點[46]。工件（jiàn）原點坐標係m m mO X Y Z 和機床原點坐（zuò）標係t t tO X Y Z 共享同一個 Z 軸方向，m t0 O =d 。工作台的回轉能夠帶動毛坯進行位姿變換，其中 A、C 兩軸的轉動範圍分別為 0°≤A≤90°、0°≤C≤3600°。
圖 3-4 坐標係 圖3 - 5雙轉台型五軸數控機（jī）床坐標係
為了方便以後的計算，需要定義（yì）一下計算過程（chéng）中用到的坐標係：令（lìng）零（líng）件坐標係（xì）為w w w wO X Y Z ，零（líng）件能夠在兩個回轉軸的運動中完成圍繞 X 軸轉動轉角（jiǎo） A（ 0° ≤A ≤90° ），圍繞 Z 軸轉動轉角 C；機床的移動坐標係為r r r rO X Y Z 。同時（shí），w rO O =d ，如圖 3-5 所示；當前刀具的刀心點0C ，其在（zài）零件坐標係內的坐標假定為（wéi）（0 0 0, ,C C CX Y Z ）；當前刀具的軸線假定為α （單（dān）位矢（shǐ）量），其在零件坐標係（xì）內（nèi）假定為( , ,)x y zα α α[48]。
在以上設定的基礎上，AC 型組合方式（shì）的運動變換計算過程具體如下：
（1）首先將刀具軸線α 移（yí）動到經過零件坐標係的原點，之後令它圍繞 Z 軸轉動到平麵（-Y）（+Z）內，最後（hòu）把刀具軸線α 圍繞 X 軸轉動到和 Z 軸重合[49]。以（yǐ）上工作的出發點是要確保當 0zα ≥ 時，令刀具軸線 α 圍繞 X 軸轉動轉（zhuǎn）角處於 (90° 0°) 之（zhī）間，也就是刀具相對於零件圍繞 X 軸轉動轉角處於(0° 90°) 之間。
（2）將刀具軸線（xiàn）α 的轉動轉化成刀具的旋轉或移動：首先讓刀具圍繞 X 軸轉動（dòng）某個角度 A,再將刀具圍繞五軸機床（chuáng）德爾 Z 軸轉動一定角度 C。所（suǒ）以（yǐ）能夠獲得 A 角的運算過程如下：
（3）零件坐標改變後，刀具的中心點0C 坐標值也（yě）會發生變化，則機床坐標係內的坐標值 X、Y、Z 的運算方法為：
1）對零（líng）件工（gōng）件坐標係w w w wO X Y Z 進行移動，使得兩個（gè）坐標係的rO 和wO 重合（hé），相應的轉換矩陣是：
2）使零件圍繞五軸數控機床的 Z 軸轉動角度 C，對應的轉換矩陣是：
3）使零件圍（wéi）繞五軸數控機床的（de） X 軸轉（zhuǎn）動一個角度（dù） A，相應（yīng）轉換矩陣是：
則有：
將上式展開可得：
3.3.2 雙擺頭型五軸數控機床的運動求解
雙（shuāng）擺（bǎi）頭型五軸數控機床根據不同的旋轉軸，可以細分為三種方式[50]。因為這三種不同選擇方式的運動變換計算過程沒有太大（dà）差（chà）別，所以在這裏隻探討了最（zuì）常見的 X，Y，Z，A，C 組合方式的運動變換計算過程[51]。
首先，初定零件坐標係為w w w wO X Y Z ，假定讓刀具繞 Z 軸旋轉一定角度 C，再讓刀具圍繞 X 軸旋轉一定角度 A(0 ≤A ≤90)；假定刀具的轉動中心0hC 至刀心點0C 的空間上的（de）直線距離是 L，如圖（tú） 3-6 所示。此（cǐ）時（shí），刀心點0C 處在零（líng）件坐標係內的位置為0 0 0(, , )C C CX Y Z ，同（tóng）時，刀具軸線α （單位矢量）在零件坐標係（xì）內可用( , , )x y zα α α 來表（biǎo）示。那麽（me），機床坐標係內移動變換（huàn）可以表（biǎo）示為：
圖 3-6 雙擺頭型五軸數控（kòng）機床坐標係
A、C 角的計算過程和前一節裏（lǐ）的（de）計算過程並無（wú）差別，在這裏（lǐ）就省略（luè）了。
刀（dāo）具中心0hC 在刀具旋轉和移動後位於零件坐標（biāo）係w w w wO X Y Z 內的坐標，就是機床坐標係下 X，Y，Z 坐標值，其（qí）計算過程為：
（1）如圖所示，刀具中心以刀心點0hC 為固定點轉動轉角0C ，圍繞 X 軸轉動轉角 A，它的（de）轉換矩陣是：
（2）刀具中心以刀（dāo）心點0hC 為固定點轉動轉角（jiǎo）0C ，圍（wéi）繞 Y 軸旋轉轉角 C，它的轉換矩陣（zhèn）是：
（3）經過以上轉換之後，刀具中心位於零件坐（zuò）標內的位置能夠通過下麵的方程來計算：
將上式展開得：
3.3.3 非正（zhèng）交五軸數控機床的運動求解
這（zhè）種運動方式（shì）的求（qiú）解與以上（shàng）兩（liǎng）類運動變換相似，計算過程並沒（méi）有很大的差別，非正交結構（gòu）五軸數控機床的運（yùn）動可以具體劃分為幾下（xià）三步進行變換計算[52]：
（1）計算從零件坐標係轉換至機床坐標係的位置轉換矩陣。
（2）計算相對於起始點的兩個轉動軸（zhóu）的轉角。
（3）把零件坐標（biāo）係內具體的刀位點位置變（biàn）換成實際機床坐標係中的坐標值[53]。因為本文（wén）具體討論（lùn）的是（shì）雙轉台正交構（gòu）造（zào）的（de）五軸數控機床，並且非正交構造五軸數控機床的移動變換計算過程相對繁瑣（suǒ），所以本文不討論。
3.4 本章小結
伴隨著電子計算機科技、數字控製算法（fǎ）的飛速進步，切削加工工件複雜程度的增加等，五軸數（shù）控（kòng）機（jī）床在構造構成（chéng）以及（jí）數字控製算法（fǎ）上均表現出多樣化的發展態勢[54]。本章首先闡述了平移、旋轉等對機床進（jìn）行運動求解時必需的一些基本（běn）數學理論。接著從結（jié）構形（xíng）加工性（xìng）能等角度，對（duì）雙轉台型、雙擺頭型、擺頭轉台型以及非正交型五軸數控機床進行了詳細的介紹，並詳細（xì）了研究了上述（shù）幾種常見類（lèi）型機床的運動求解算法[55]。本（běn）章在描述了運動分析時（shí）所必須借助（zhù）的基礎線性代數原理，分別例舉了采用三種非常普遍的構（gòu）成形式的五（wǔ）軸數控機床在一定的限製條件（jiàn）下（xià）的運動（dòng）分析算法[56]。同時（shí），為下一（yī）章的進一步研究做（zuò）了鋪墊，為模擬機訓練係統操作（zuò）模塊研究奠定了基礎。
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