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凸輪磨床 X － C 廓形誤差推導與仿真

2018-4-12 來源：北京第二機床廠有限公（gōng）司北京信息科技大學作者：張培碩李偉華（huá）韓秋實李啟光等

摘要: 在數控聯動加工時，由數控係統引入的跟蹤誤差是影響凸輪加工廓形誤差的主因之一，通過研究凸輪磨床跟蹤誤差，分別推導 X 軸、C 軸跟蹤誤差與廓形誤差計算模型，進一步推導出 X － C 軸聯動時跟蹤誤差與廓形誤差的計算（suàn）模型。借助 MATLAB 工（gōng）具編寫程序，分別實現數學（xué）模型仿真和模（mó）擬加（jiā）工仿真，將實驗采集的跟蹤誤差采用（yòng）不同（tóng）的方法引入到仿真中，通過仿真結（jié）果對比（bǐ），驗證了X － C 廓形誤差數學模型的正確性。

關鍵詞: 數控凸輪軸磨床; 跟蹤誤差; 廓形誤差（chà）; 仿真

在數控（kòng）凸輪軸磨床加工過程中，X 軸和 C 軸要（yào）求隨加工形狀的不同瞬時啟停或改變速度，控製係統要實（shí）時精確地控製坐標（biāo）軸運動的位置與速度，由於係統的穩態和（hé）動態特性影響了各坐標軸的協調（diào）運動和位置精度，從而產生了（le）凸（tū）輪的廓形誤差。

數控凸輪（lún）軸磨床的伺（sì）服係統是影（yǐng）響磨削質量最關鍵的部分之一。作（zuò）為執行部件的伺服驅（qū）動係統（tǒng）和電動機，能否準確執行給（gěi）定的命（mìng）令，對最終的磨削質量的影響是顯而易見的（de）。凸輪軸磨床多（duō）采用砂（shā）輪架住複（fù）運動和工件旋轉運動的聯動來實現凸（tū）輪的磨削加工，在數控聯動加工時，伺服係（xì）統引入的跟蹤誤差是產（chǎn）生廓形誤差的一（yī）個重要因素。國（guó）內學者近（jìn）幾年涉足了數控係統的跟隨誤差研究（jiū）領域，其中，浙江大學朱年軍（jun1）等推導了數控加工中穩態（tài）誤差的形成過程，並從直線和圓弧輪廓誤差模型出發探討了數控跟蹤誤差和輪廓誤差之間的關係

; 蘭州理工大（dà）學孫建仁（rén）等從分析輪廓誤差、跟隨誤差和位置環增益著手（shǒu），分析（xī）兩（liǎng）種基本插（chā）補運動的輪廓誤差及其相應的跟隨誤差與輪廓誤差之間的關係; 南京航空航天大學滕福林等針對不同類型（xíng）的位置給定，仿真分析了動態位置跟蹤誤（wù）差的產生機理，並提出采用 S 曲線給定可以大（dà）大減小實際係統的動態位置（zhì）跟蹤誤（wù）差的方法。

以（yǐ）上 3種（zhǒng）方法研究的對象都是通用的數（shù）控係統的簡單插補過程，未（wèi）涉及（jí）到複雜（zá）聯動加工，如果將（jiāng）以上研究成果直（zhí）接應用到加工凸輪的 X － C 聯動是不科學的。此外，華科技大學李勇等從（cóng）係統傳遞函數入手，完成了數控凸輪軸磨床控製係統的建模，引入粒子群算法，優化了 PID參（cān）數，此方法沒有涉及到跟蹤誤差數學模型的推導問題。

本文主要（yào）完成工作是，在數控凸輪（lún）軸磨床（chuáng）的 X －C 軸聯動係統中，推導跟（gēn）蹤誤差（chà）引起（qǐ）的廓形誤（wù）差數學模型，利用加工實驗采（cǎi）集到的（de）跟（gēn）蹤誤差值，借助 MATLAB工具（jù）實現仿真，來驗證數學模型（xíng）。

1、 X － C 軸跟蹤誤差引起（qǐ）的廓形誤差數學模型推導

廓形誤差是指任意（yì）位置處實際廓形軌跡與理論廓形軌跡之間的最短距離。在磨削過程中，凸輪軸磨床（chuáng）通過兩軸聯動合（hé）成運動軌跡，完成凸輪廓形加工，由於各個軸都存在跟蹤（zōng）誤差，運動分別會稍有偏差，因此，最終體現在磨削工件上的跟蹤誤差是二者合成的結果。

1． 1 X 軸（zhóu）跟蹤誤差引起的廓形誤差數學模（mó）型推導

對於凸輪軸磨床而言，X 軸跟蹤誤（wù）差，是指砂輪在伺服係統要求到達指（zhǐ）定位置時，實際位置偏離所要求的理論位置的誤（wù）差值。設 X 軸跟蹤誤差為 Δx，如圖 1所示，凸輪輪廓偏差量為 εx。

由幾何關係，可以得出:

式( 2) 即為 X 軸的跟蹤誤（wù）差與（yǔ）廓形（xíng）誤差的數學模型。

1． 2 C 軸跟蹤誤差引起（qǐ）的（de）廓形誤差數學模型推導

凸輪磨床 C 軸的跟蹤誤差，是（shì）由於加（jiā）工凸輪時實際磨削點在 C 軸上偏離（lí）了理論磨削點而引起的凸輪廓形的加工誤差。根據凸輪輪廓解析法，見圖 2，s0為基圓半徑（jìng），s 為升程值，δ 為轉角（jiǎo）值，e 為偏心距，rr為滾子（zǐ）半徑（jìng）。有:

式( 3) 即為凸輪工作過程中廓（kuò）形（xíng）的直角（jiǎo）坐標。

將滾（gǔn）子（zǐ）視為砂輪，該（gāi）式就轉化為（wéi）磨削模型，借（jiè）助 X坐標計算廓形誤差，設極角誤差為 Δδ，容（róng）易得出:

式( 6) 即（jí）為 C 軸跟蹤誤差與廓形誤差的數學模型。

1． 3 X － C 跟蹤誤（wù）差引起的（de）廓形誤差數學模型在凸輪實際磨削時，C 軸跟蹤誤差與 X 軸跟蹤誤差是同時存在的，由於在式( 2) 與式( 6) 建立起的數學模型（xíng）中，計算（suàn）出的廓形誤差（chà）都是法向值，因此，綜合考慮 C 軸跟 X 軸，由它們造成的凸輪廓形誤差 ε 為:

2 、實驗（yàn）驗證（zhèng）

2． 1 實驗凸輪軸磨床數控係統簡介（jiè）

數控凸輪軸磨床通常采用 X － C 兩（liǎng）坐標聯動實現凸輪輪廓的磨削，以（yǐ） PMAC 卡為主要運（yùn）動控製核心，控製 X 軸砂輪架前後往複移動和 C 軸工件主軸旋轉運動，Z 軸工作台的左右移動實現凸輪軸的自動磨削加工（gōng）循環（huán）和砂輪的自動修整，C 軸由電主軸驅動，X 軸采用直線電動機驅動，Z 軸由交流伺服電動機驅動。

磨削過程（chéng）中，X 軸執行磨削進給和退避到安全位置，Z軸移動依次磨削凸輪軸上的各個凸輪。凸輪軸磨床（chuáng）數控工作原（yuán）理圖如圖 3 所示。

數控凸輪軸磨床數（shù）控控製原理圖如圖 4 所示，X軸直線電動機帶動砂輪架水平往（wǎng）複移動，C 軸伺服電主軸（zhóu）帶動工件主軸轉動，X － C 兩軸聯動，實現凸輪廓形（xíng）加工（gōng），Z 軸伺服電動機（jī）帶動（dòng）工作台（tái）移動，完成整根凸輪軸的加（jiā）工。

2． 2 跟蹤誤差采集

本（běn）文采用雙（shuāng）端（duān）口 RAM 數據讀取方式，利用雙端口所帶的函數進行（háng）數據采集，這種方式更加的方便，雙端（duān）口 RAM 函數封裝了 PMAC 數（shù）據讀取過程（chéng），用戶調用相應的函數即可從雙端（duān）口 RAM 中直接（jiē）讀取運動參數，不需設置采集源（yuán）及數據地址，雙端口（kǒu） RAM 有很多運動參數采集函數，利用這些（xiē）函數就能采集電動機（jī）的狀態、實時位置（zhì）、速度、跟隨誤差等（děng）等。

采（cǎi）集的實現是通過編（biān）寫采集軟件（jiàn）來完成，為提高采集時間精度，軟（ruǎn）件（jiàn）采用多媒體定時器，設置多媒（méi）體定時器采集間（jiān）隔 20ms，定時器精度 1 ms，采集結果寫入數據文件。實（shí）驗共采（cǎi）集 3 組數（shù）據，按 C 軸轉速分別為 30 r/min、60 r / min、90 r / min，從低到高依次為數據 1、數據 2、數據 3。

2． 3 仿真驗證

2． 3． 1 仿真實現方法（fǎ）

( 1) 計算模型仿真

在伺服跟蹤誤差與（yǔ）凸輪廓形誤差數學模（mó）型建立的基礎上，借助 MATLAB 工具，編寫出仿真程序代（dài）碼，將凸輪升程擬合成凸輪廓（kuò）形，伺服跟蹤誤差值由式 7 的數學模型引入，在（zài）法相將疊加到（dào）凸輪廓形上，可得到由單一曲線構成的（de）凸輪實際廓形。該仿真方法部分MATLAB 程序如下（xià）:

( 2) 模擬加工仿真

非圓曲麵零件采用 X － C 聯動磨削時，實質是一（yī）種砂輪包絡，為了（le）便於（yú）觀察（chá）與計算，常采用砂輪反轉（zhuǎn）法即工件不動、砂輪反向旋轉對非圓曲麵零件加工過（guò）程進行分（fèn）析。借助 MATLAB 工具，編寫（xiě）出反轉法模擬凸（tū）輪廓形（xíng）加工的仿真程序，跟蹤誤差分（fèn）別由 X 軸跟蹤誤差 Δx 和 C 軸跟蹤誤差 ΔC 分別引入，程序（xù）運行時，砂輪反方向旋轉一周，可得到由多重砂輪輪（lún）廓逼近出的凸輪實際廓形。

該仿真方法部分 MATLAB 程序如下:

2． 3． 2 仿真（zhēn）結果對比分析

將采集到的 X 軸、C 軸跟蹤誤差的 3 組數據分別導入 MATLAB 程序，仿真出凸輪（lún）理論廓形與實際（jì）廓為了讓誤差效果明顯，誤差被放大了 200 倍，如圖5 ～ 7 所示。圖 5a、6a、7a 三幅仿真圖，由單一曲線構成，為本文推導出的數（shù）學模型仿真結果; 圖 5b、6b、7b三幅仿真圖，由多重曲線輪廓構成，為砂輪反轉法模擬凸輪加工的（de）仿真結果。將圖 5 ～ 7 中上（shàng）下兩幅圖，分別進行對比，可以得出廓形誤差曲線整體變化（huà）趨勢基本一致，桃尖整（zhěng）體位置沿（yán） Y 軸正方向偏移，隨著 C 軸速（sù）度的依次增加，偏移量（liàng）依次增加。

分析不同仿真方法的（de）廓形對比圖，可發現較之於理論廓形，凸輪實際廓形曲線明顯向上偏移，二者仿真結果基本一致，但是計（jì）算模（mó）型仿真出的實際廓形與反轉法模擬（nǐ）加工仿真（zhēn）相比，誤差（chà）有輕微波動，分（fèn）析原因，在實際加工過程（chéng）中，除去伺（sì）服跟蹤誤差（chà）以外還有其他誤（wù）差因素（sù）影響，有一定程度的波動是合理的。這就證明了推算的伺服跟蹤誤差與（yǔ）廓形誤差的數學模型式（shì）( 7) 是正確的。

3 、結語

通過對凸輪軸磨床 X 軸、C 軸跟蹤誤差引起的廓形誤差（chà）研究，提出了 X － C 聯動時伺服係統的跟蹤誤差與廓形誤差的數學模（mó）型（xíng）。采集跟蹤誤差，借助（zhù）MATLAB 工具編寫的兩套仿真程序，對模擬加工出的凸輪廓形進行比對分析，最終（zhōng）驗證了數學模型的正確性。

該模型的提出，為數控凸輪軸（zhóu）磨床伺服（fú）跟蹤誤差實時反饋係統的研究奠定了基礎，對進一步提高凸輪磨削精度有重要意義。

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