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５-UPS/PRPU 冗餘驅動並聯（lián）機床彈性動（dòng）力學分析

2016-12-7 來源：燕山大學（xué）河北省並聯機器人與機電係統實驗室作者：周鑫許允鬥姚建濤鄭魁敬趙永生

摘（zhāi）要:結合有限元法和子結構法建立了５-UPS/PRPU 冗餘驅動並聯機床的彈性（xìng）動力學模型.首先,將係統劃分（fèn）為不同的子結構,根據空（kōng）間（jiān）柔性梁（liáng）理論求出單元動力學方程,根據（jù）關節特點將各個梁單元組（zǔ）裝成各個驅（qū）動分支;根據分支與動平台的運動學/動力學（xué）約束,將各個分支進行裝配,從而得到係統動力學方程.以５-UPS/PRPU 冗餘驅（qū）動並聯機床作（zuò）為算例,求出其動平台中心的動態響應特性.通過比較５-UPS/PRPU 冗餘驅動並聯機（jī）床及５-UPS/PRPU 非冗餘（yú）驅（qū）動並（bìng）聯（lián）機床動平台的動態響應,可以得到結（jié）論:冗餘（yú）驅（qū）動可以明顯改善該機（jī）床彈性動力學特（tè）性,從而減小因彈性變形引起的誤差.研究結果為結構（gòu）設計人員進行結構設計（jì）及優化提（tí）供可靠的依據.

關鍵詞:並聯機床;冗餘驅動;彈（dàn）性動力學;動態特性比較

０.引言

並聯機器人具有剛度（dù）高、承載能（néng）力強以及模塊化程度高等特點,廣泛應用於（yú）航空航天、國防軍事等領域.然而,由於並聯機器人的工（gōng）作空間小、容易產生奇異位型等缺點,在實際生產（chǎn）中往往通過引入冗餘驅動的概念（niàn）去（qù）解決這（zhè）些問（wèn）題.高速、輕型化是並聯機器人（rén）發展的主要趨勢.然（rán）而,當輕型化的機器人在重（chóng）載且高速（sù）的環境下（xià）工（gōng）作時,往往（wǎng）會由於各個分支（zhī）的彈性變形影響其運動及動力學性能（néng）,從而降低機器人的精度.因此,有（yǒu）必要對並聯機器（qì）人進行彈性動力（lì）學分析,並通過（guò）結構優化提高其動力學特性.Liu 等[４]通過考慮連杆（gǎn）的變形（xíng）,分析了並聯機構的動力學特性.

胡俊峰等提出了一（yī）種簡（jiǎn）單而精確的彈性動力學建模方法,並通過實例進行了驗（yàn）證（zhèng）.文獻分（fèn）別針對不同的機構建（jiàn）立了彈性動力學模（mó）型,並且進行了相應的動（dòng）力學分（fèn）析.陳修龍等[１０]基（jī）於機構的彈性動力學模型（xíng）提出了一種優化方（fāng）法.CammaraＧta 等提出了（le）一種約束優化方法,該方（fāng）法改善了３T１R 並聯機器人的彈性動力學（xué）性能;Alberto等（děng）采用一種新的重力（lì）補償方法,分析了四杆（gǎn）機構的彈性動（dòng）力學特性;Zhang 等以３-PRS 為例,通過建立（lì）其彈性動力學模（mó）型提出了一種能（néng）夠分析其關節約束反力的方（fāng）法.文獻分別（bié）從結構、理論方法以及控（kòng）製的角度對３-PRR 柔性並聯機器人（rén）進行了深入的分析.綜上所述,現（xiàn）有文獻大多針對（duì）非（fēi）冗餘驅動並聯機構進行彈性動力學分析,而（ér）對於冗餘驅動並聯機構的分析並不多.Zhao等（děng）比較了６-PSS 與８-PSS冗餘驅動（dòng）並聯平台的彈性動力學特性.除此（cǐ）之外,鮮有文獻對冗餘驅動並聯機構的彈性動（dòng）力學進行研究,對於通過將主動（dòng）副代替被動副從（cóng）而實現（xiàn）驅動冗（rǒng）餘機構的（de）相關（guān）研究更（gèng）是鮮有報道.

本文對（duì）５-UPS/PRPU 冗餘驅動並聯機構的彈性動力學性能進行了分析（xī）.首先通過（guò）結（jié）合子結構法和有限單元法,建立了空間單元的彈性（xìng）動力學模型;然後根據各個關節的運動特性（xìng）,將單元動（dòng）力學模型進行組裝,並根（gēn）據機（jī）構的運動學/動力學約束,得到係統總體的彈性動力學模型;最後以相應的５-UPS/PRPU 冗餘（yú）驅動並聯機床（chuáng）為算例,通（tōng）過與相應的５-UPS/PRPU 非冗餘驅動並聯機床動平台中心的彈性位移進（jìn）行比（bǐ）較,證明冗餘驅動對機（jī）床性能的改善.

１.動力學建模

５-UPS/PRPU 五自由度冗餘驅（qū）動並聯機床如圖１所示（shì）,它由定平台、動平台以及６條驅動分支（zhī）等組成.機床的加工運動（dòng）可以通過５條結構相同的UPS 驅動（dòng）分支及PRPU 分支(冗餘分（fèn）支（zhī）)的移動副共同實現.各個移動副的運動主要通過滾珠絲杠/螺母（mǔ）實現.此外,沿動平（píng）台中心的法線方向的轉動被PRPU 分支（zhī）所約束,因此（cǐ）,PRPU 分支也可以稱為約束分支.R、U、S、P 分別代表轉動副、虎克鉸、球副以及移動副（fù）.由於機床動平台能夠實現運動的自由度數目是５,而（ér）驅動數（shù）目為６,故機床表示為５-UPS/PRPU 五自由度冗餘驅動（dòng）並聯機（jī）床.

圖１　５-UPS/PRPU 機床模（mó）型結構圖

機床結構簡圖如圖２所示.對於該冗（rǒng）餘驅（qū）動五自由度（dù）並聯機床,由於機床動平（píng）台以及定平台剛度很大,故忽略其（qí）彈性變形,在此假設其為剛形體;由於（yú）滑塊剛度很大,同樣將其考慮成剛體,忽略其彈性變形.因此,在（zài）本文分析過程中考慮５個UPS 驅動分支（zhī）的彈性變形;另外（wài）,將PRPU 分支的（de）RPU 分支部分視為彈性體.

圖２　５-UPS/PRPU 機床結構簡圖

１．１　單元動力學方程

根據機床分支實際結構（gòu）,將空間柔性梁單元模型等效為圓柱形截麵,如圖３所示.該空間兩

圖３　空間柔性（xìng）梁單（dān）元模型

１．２　分支及動平台的動力學方程

首先分別（bié）將UPS 分（fèn）支以及PRPU 分支等效為懸臂梁.對於（yú）PRPU 分支,則將R ０點考慮為固定端,故其彈性（xìng）位（wèi）移及轉角均（jun1）為０;對於（yú）P ０點（diǎn）,由於該點(移動副（fù）)鏈接的兩個單元分屬不同的構件,故應當設置不同的彈性位移（yí）;對於U ０處(虎克鉸)可以等效成兩個匯交不共麵的轉動副,所以,U ０處對應的兩個曲率也為０.對於UPS 分支,同樣將U i (i ＝１,２,......,５)點考慮為懸臂梁的固定端,那麽其彈性位移（yí）及轉（zhuǎn）角均為零;由於P i 點連接兩個不（bú）同的構件,故也設置不（bú）同的彈性位移;對應S i 處為球鉸,因此,沿三個方向的曲率也為零.各個分支的係統坐標係設置如圖４所示.

圖４　分支在參考坐標係下的廣義坐標

其中,M i 、K i 、F i 分別為分（fèn）支的（de）質量矩陣、剛度矩陣以及分（fèn）支所受的外載荷向量.U 表示由各個（gè）分支在參考坐標係中的（de）坐標所（suǒ）組（zǔ）成的向量.

１．３　動平（píng）台動力學方程

根據前文的（de）假設,由於動平台的剛度很大,故考慮成剛體,則動平台與各（gè）個驅動分支連接結點不是獨立的.因此,假（jiǎ）設動平台與各個驅動分支連接結點一致,且各驅動分支對動平（píng）台的力與作用在動平台的外力相平衡,由此可以分別得到係統的運動學約（yuē）束方程及其動力（lì）學方程.根據對動平台的（de）動力（lì）學（xué）分析作為係（xì）統的動力學約束,有（yǒu）

１．４　係統動力學方程的裝配

將分支係統中的質（zhì）量（liàng）矩陣、剛度矩陣（zhèn）分解成以下形式（shì）:

通過（guò）將各個分支（zhī）動力（lì）學方程(式(８))與動平（píng）台動力學方程(式(９))結合,再結合文獻-中的運動約束方程即可得到５-UPS/PRPU 冗餘驅動並聯機床（chuáng）整體彈性動力學方程:

構造冗餘驅動並聯機構的方法有三種:① 將被動運動副替換為（wéi）主動運動（dòng）副,即關節式（shì）的冗餘驅動;② 支鏈式的冗餘（yú）驅動,即通過添加一條或多條驅動支鏈從而（ér）使機構的實際驅動鏈數目超過其運（yùn）動所需（xū）的支鏈數目;③ 以上兩（liǎng）種方法的綜合.５-UPS/PRPU 冗餘驅動並聯機床屬於第一種類型,即通過添加（jiā）冗餘電機從而構造出冗餘驅動.值（zhí）得注意的是,冗餘電機的添加,使得整個係統具有６個驅動輸入.理論上而言,機床的任意位姿都對應著無窮多組（zǔ）解.因此,在確定各個分（fèn）支的驅（qū）動力（lì）時,允許根據不同的優（yōu）化目標通過采用不同的優化（huà）算法優化機（jī）床分支的驅動力.考慮到實際的加工問題,本文采用文獻（xiàn）中的（de）優化方（fāng）法,根（gēn）據達朗伯原理求解冗餘分支的（de）驅（qū）動力,從（cóng）而以使冗餘（yú）分支的大滑塊能夠更好地跟隨（suí）動平台運（yùn）動為優化目標.另外,對於非冗餘（yú）驅動並聯機（jī）床的驅（qū）動力,則可根據拉格（gé）朗（lǎng）日方程直接求出.機床剛體動力學的部分不再贅述.

２.動態響應分析

２．１　機床（chuáng）動態響應特性分析

為了分析係統的動態響應特性,令５-UPS/PRPU 五自由度冗餘驅（qū）動並聯機床（chuáng）的動平台中心的運動軌跡為

表１　機床基本結構參數

表２　UPS 分支基本結構參數

表３　PRPU 分支基本（běn）結構參數

動平台的質量為４５ kg, 密度為（wéi）７８００kg/m３ ,剪切彈性模（mó）量為（wéi）７９ GPa,拉壓（yā）彈性模量為２１０ GPa.為了比較機床在冗餘驅動與非冗餘驅動的動態響應特（tè）性,分別計算了５-UPS/PRPU 冗餘驅動並聯機床與其相應的５-UPS/PRPU 非冗餘驅動並聯機床動平（píng）台中心的彈性位移以及對應的剛性位移.如圖５~圖１０所示（shì）,實線部分（fèn）表示冗餘驅動並聯機（jī）床動平台中心的彈性位移,虛線部分表示非冗（rǒng）餘驅動並聯機床動平台中（zhōng）心（xīn）的彈性位移.

圖５　沿（yán）x 軸方向的線（xiàn）位移

圖６　沿y 軸（zhóu）方向的線位移

圖７　沿z 軸方向的線位移

圖（tú）８　沿x 軸方向的角位（wèi）移

比較分析圖５ ~圖１０可（kě）知冗餘驅動對機床整體動態響應的影響情（qíng）況.對於冗餘（yú）驅動並聯機床（chuáng）,由分支變形引起平台中心在x 、y 、z 方向的線/角位移的最大誤差值（zhí）分（fèn）別為－０．０１８９ mm、０.０２１９ mm、０．１００８ mm;－０．１５０７°、０．１３６１°、

圖９　沿y 軸方向的角位移

圖１０　沿z 軸方向的角位移

０.００６４°.而對於非（fēi）冗餘驅動並（bìng）聯機床,各個方向（xiàng）的（de）最大誤差值分別（bié）為－０．０２１ mm、０．０２３６ mm、０．１１１４ mm;－０．１５８１°、０．１４０３°、０．００６８°.由此可見,無論（lùn）是對於冗餘驅動還是非冗餘驅動並聯機床,最大移動誤差均（jun1）沿z 方向,轉動方向的最大誤差值均沿x 方（fāng）向.除此之外,可以看出該冗餘驅動並聯機床在x 、y 、z 三個方向的移（yí）動（dòng）誤差及（jí）x 、y 方向的轉動誤差均小於其非冗餘驅動並聯機床,且最大移動（dòng）誤差減小了０．０１０６ mm,最大轉動誤差減小了０．０４２°.因而可以得出冗餘驅動可以（yǐ）改善機床的動態響應特性的結論.

需要說明的是,由於各個方向的實際位移均以某一數值為中心往複波動,說明其動平台（tái）中心點（diǎn）由於各個驅動分支變形所（suǒ）引起的彈性位移是以某一（yī）點為中心的彈性振動.

２．２　仿真驗證

該冗（rǒng）餘（yú）驅動並聯機床的固有頻率由下式得到:

通過觀察式(１３)不難發現,該機床的整體質量矩陣和剛度矩陣（zhèn）均與機床的位姿相關,因此,計算了機床在不（bú）同位姿下的（de）固有頻率（lǜ）,並通過（guò）有限元軟件中的模態分析進行驗證.圖１１所示為機床在初始位姿時各階固有頻率在有限元仿真（zhēn）軟件

圖１１　冗餘驅動並聯機床各階固有頻率仿真結果

中的計算結（jié）果,比較分析可知,本文理論模型所得（dé）結（jié）果（guǒ）與有限元仿真結果的變化趨勢（shì）一致,可以在一定程度上證明本文模型的有效性.

３.結論

(１)本文結合有限單元法與子結（jié）構法（fǎ）推導了５-UPS/PRPU 冗餘驅動並（bìng）聯機床（chuáng）的彈性動力學模型.

(２)比較（jiào）了（le）５-UPS/PRPU 冗（rǒng）餘驅動並聯（lián）機床與其非冗（rǒng）餘驅動並聯機床的動態響應特性.

(３)冗餘（yú）驅動可以在一定程度上改善冗餘驅動並（bìng）聯機床的動（dòng）態響應特性.此外,可以采用本文的方法對係統（tǒng）結構進行優化;通過（guò）理論分析找（zhǎo）到機床誤差最小的（de）位置,從而進行軌跡規劃,提高機床加工精度.

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