摘要: 基於有限元法參數（shù）化建立主軸係統三維有限元模型，將軸承簡（jiǎn）化為彈性支撐． 考慮皮帶輪和卡盤的影響，對整個主軸係統進行模態分析，得（dé）到主軸係統的前八階固有頻率及固有振型． 進行臨界（jiè）轉速分析，將工作轉速與非零最低階頻率（lǜ）對應的轉速進行比較，驗證主（zhǔ）軸設計的合理性． 利（lì）用ISIGHT 集成ANSYS 進行正交試驗（yàn）設計並計（jì）算非零最低階固有頻率，將有公差範圍要求的（de）軸段的直徑和長度以及（jí）基（jī）本物理參數作（zuò）為隨機變量（liàng），采（cǎi）用BP 神經網絡擬合主軸係統非零最低階固有頻率（lǜ）與隨機變量之間的關係． 利用一次二階矩法計算主軸係統在特定轉速下的可靠度並求（qiú）解（jiě）各隨（suí）機參數的可靠性靈敏度．

     關鍵詞: 主軸係統（tǒng）; 有限元法; 神經網絡; 可靠度; 可（kě）靠性靈敏度（dù）

     主軸係統是數控（kòng）車（chē）床的關鍵部（bù）件［1 － 4］． 主（zhǔ）軸係統的動態（tài）特性很大程度上決定了整個機床的加工質量和切削穩定性． 主軸係統工作頻率接近其固有頻率時會發生共振，從而（ér）嚴重影響車床的加工（gōng）精度． 因此，主軸的正常轉速必須遠離其（qí）臨界轉速．

     在設計加工過程中，主軸係統不同（tóng）軸段的尺寸會有一定（dìng）偏差（chà），將其視為（wéi）影響主軸係統可靠度的隨機變量; 尺寸的微小變化會引起（qǐ）整個主軸係統固有（yǒu）頻率的變化（huà）． 由於各隨機變量的影響程度不同，因此（cǐ）研（yán）究（jiū）頻率可靠性及主軸係統失效概率對各隨（suí）機變量的靈敏度具有重（chóng）要的意義．

     本（běn）文基（jī）於有限元軟件［5］對數（shù）控車床主軸係統進行參數（shù）化建模，利用ISIGHT［6］集成ANSYS進行正交試驗設計（jì），對隨機參數進行（háng）抽樣，計算非零最低階固有頻率． 根（gēn）據抽樣計算（suàn）結果，結合BP神經網絡技術（shù）得（dé）到了主軸係統非（fēi）零（líng）最（zuì）低階固有頻（pín）率與所有隨機變量的擬合關係，進而（ér）利用一次二階矩法計算主軸係（xì）統在最高轉速時的可靠度並求解可靠性靈敏度．

      根據主軸係統（tǒng）有限元分析結果以（yǐ）及（jí）可靠性靈敏度計算結（jié）果，指（zhǐ）導實際設計加工．

      1 、主軸係統有限元模型

     1. 1 主軸係統基（jī）本結（jié）構及參數

     主軸是一種典型的中空（kōng）階梯軸，將錐度較小的軸麵簡化為等直徑軸麵，將軸內孔徑視為常（cháng）數，忽略軸段倒角及圓角． 主軸前端安裝標準三爪卡盤，末端固聯皮帶輪． 在主軸高速旋轉過程中，可將皮帶輪和卡盤與主軸視為一體，經（jīng）合理簡（jiǎn）化後的主軸係（xì）統結構如圖1 所示．

     
                  圖（tú）1 主軸係統結構簡圖

     主軸係統的基本物（wù）理參數如表1 所示． 圖1中標注出的各（gè）軸段直徑、主（zhǔ）軸內孔直徑以及後（hòu）兩軸（zhóu）段（duàn）長度（dù）均有尺寸範圍要求，因此作為尺寸隨機參數． 將彈性模（mó）量、泊鬆比、軸承剛度、材料密度這4 個物理參數同樣看作隨機變量． 所有隨機參（cān）數均服從正（zhèng）態分布，標準差取為均值的5%．

                            表1 主軸係統基本物理（lǐ）參數
   

     1. 2 軸承的簡化（huà）及約（yuē）束

     本文將前後軸（zhóu）承均簡化為彈性支撐，支點位置位於軸的表麵，如圖（tú）2 所示． 在主（zhǔ）軸的前、後端分別有軸承支撐，因此需要（yào）建立8 個彈簧單元． 假設軸承隻具有徑向剛度，且剛度值為常數，見表1．

  
      
                   圖2 軸承彈性支撐示意圖

     根據軸承特點及主軸係（xì）統結構，對彈簧施加約束時，約束其自由（yóu）端的全部自由度，即對圖2 中的T5，T6，T7和T8點進行完全約束． 對（duì）於彈簧與軸（zhóu）表（biǎo）麵的接觸端，在前軸承處施加軸向約束，後（hòu）軸承處不（bú）約束，對應圖2 中的T1，T2，T3和T4點．

     1. 3 主軸係統有限元（yuán）模型（xíng）

     使用8 節點SOLID185 單元和COMBIN14 單元（yuán）分別建立主軸和彈（dàn）簧單元（yuán）． 對主軸（zhóu）係統進行適當簡化，按照有（yǒu）限元分析的要求，使彈簧（huáng）約束處節點號固定不變，將主軸係統劃分為6 976 個單元，8 928 個節點，有（yǒu）限元模（mó）型如圖3 所示．

     
                     圖3 主軸係統有限元模型（xíng）

     2 、主軸係統模態分析（xī）

     主軸係統的靜力分析［7］體現剛（gāng）度對主軸（zhóu）加（jiā）工精（jīng）度的影響． 模態分析通過研究無阻尼（ní）係統的自由振動，得（dé）到其自然（rán）屬性． 進行模態分析可以直（zhí）觀地了解主軸係（xì）統的固有頻率及變形程度［8］．

     首先根據（jù）達朗貝爾原理，建立（lì）動力學基本方程:

     式中: M，C，K 分別為質量、阻尼和剛度矩陣; x，x·和x··分別為位移、速度和加（jiā）速度矩陣; F 為激振力矩陣．對於本文來說，進行模態分析是研究主（zhǔ）軸係統無阻尼自由振動特性，從而得到其固有頻率和振型; 因此忽略阻尼矩陣影響，且自由振動（dòng）時無（wú）外（wài）界激振力，即（jí）阻尼矩陣C 和（hé）激（jī）振力矩陣F 均為零矩陣（zhèn）． 設解為

     將式( 2) 代入式( 1) ，並使特征矩陣行列式為零，得到關於ω 的n 次方程，開方後得到n 階固有頻率．

     根據第1 節中對數控車床（chuáng）主軸係統的參數化建模（mó），進行模態擴（kuò）展和結果後處理，利用有限元（yuán）軟件進行模態分析，使用Block Lanczos 法提取固有頻率，選取前8 階（jiē）振型，各階固有頻率數值及對（duì）應的振型分別如表2 和圖4 所示．

                    表（biǎo）2 主軸係統（tǒng）前8 階固有頻率及振型

     由以上結果可以看出，第1 階頻率為0． 第2，3 階頻率相同，第4，5 階頻率相同（tóng），表（biǎo）現（xiàn）為正（zhèng）交;可以將（jiāng）其視（shì）為重根，其振型也隻是方向不同（tóng）． 第6階和第7 階頻率為單（dān）根，其振動形式分別為扭轉和拉伸，而沒有彎曲和擺動． 進一步求解主軸係（xì）統的臨（lín）界轉速:n = 60f ． ( 3)式中: n 為臨界轉速，r /min; f 為頻率，Hz．根據式( 3) 和表2，計算出各階（jiē）次（cì）頻率對（duì）應的（de）轉速為: 第1 階（jiē）0; 第2，3階同為18 462 r /min; 第4，5 階同為28 254 r /min; 第6 階為44 875. 2 r /min; 第7 階為52 468. 2 r /min; 第8 階為55 278 r /min．隻考慮轉速非零的最（zuì）低階即第2，3階固（gù）有頻率所對應的轉速［9］． 本文中主（zhǔ）軸係統的工作轉速最高值為6 000 r /min，小於2，3階固有（yǒu）頻率所對應（yīng）的轉速，即18 462 r /min．

                         圖4 主軸係統前8 階振型圖
   

     3 、ISIGHT 試驗設計及神經網絡擬合

    利用ISIGHT 集成ANSYS 設計正交試驗，通過修改模擬計算模塊的（de）輸入文件來完成對模型的修改，從而能夠（gòu）高效地得到所需數據（jù）．

    將圖1 中標（biāo）注的9 個尺寸參數及表1 中所列出的4 個基本物理參數共13 個參數作為隨機變量，采用拉（lā）丁超（chāo）立方( LHS) 設計方法，得到需要的樣本（běn），最後通過ISIGHT 與ANSYS 接口調用ANSYS 進行（háng）相應的有限元分析和計算，得到主軸係統（tǒng）非零（líng）最低階固有頻率的（de）值．

     利用BP 神經網絡（luò）［10］擬（nǐ）合主軸係統非零最低階固有（yǒu）頻率與設計變量之間的函（hán）數關係． 隱含層的激勵函數（shù）選用Sigmoid 函數，輸出層（céng）的（de）激勵函數選用線性Purelin 函數，則上述函數關係可表示為

      
                  圖5 網絡訓練輸（shū）出值與有限元分（fèn）析值的比較
 

                                    圖（tú）6 網絡訓練誤差

     4 、頻率可（kě）靠度及（jí）可靠（kào）性靈敏度計算

     研究（jiū）主（zhǔ）軸係統在最高工作轉速即6 000 r /min( 對應頻率100 Hz) 時的可靠度及（jí）可靠性靈敏度．可靠性指標β 是一個無（wú）量綱數［11 － 12］:

     一次二階矩（jǔ）法將（jiāng）功能函數展開成泰勒級數並取至一次項，按照可靠性指（zhǐ）標的定義形成求解方程，隻需要變量（liàng）的均值和方差即可求解．

     設功能函（hán）數為gX( X) ，將功能函數在均值處展開，得到可靠性指標β 的近似表達式為

     式中Φ 為（wéi）標（biāo）準正（zhèng）態分布函數．

     基於神經網絡擬合得到的（de）數（shù）學模型，建立功能函數gX( X) = F( X) － 100，這裏F( X) 為神經網絡的輸出值，100 為本文所研究的主軸係（xì）統最高轉速6 000 r /min 對應的（de）頻率即100 Hz． 利用一次二階（jiē）矩法得到主軸係統結構的可靠度分析結果． 其中，可靠性指標β = 4. 841 3，頻率可靠度Ｒ =0. 999 999 355 ．

     進而求解主軸係統失效概率對各尺寸隨機參數的靈敏度． 可靠性靈敏度［13 － 14］就是結構係統基本（běn）隨機變量的變（biàn）化（huà）引起結構失效概率變化的敏感性． 失效概率對隨機變量均值和方差的靈敏度計算表達式分別為（wéi）

     材料參數及軸承剛度在機械加工中通常難以（yǐ）控（kòng）製，因此本文主要研究前文所（suǒ）述的9 個（gè）尺寸參數即X =［d0，d3，d4，d6，d7，d8，d9，h8，h9］對主軸係統（tǒng）可靠性（xìng）的影響． 可靠性靈敏度計算結果如下:

     從失效概率（lǜ）對隨機參數均值的靈敏度矩陣式( 11) 可（kě）以看出，d0，d3，d8，h8，h9數值的增加會導致主（zhǔ）軸係統頻率穩（wěn）定性（xìng）變差; d4，d6，d9數值的增加則導致（zhì）主軸係統頻率的穩定性更好．

     從失效概率對（duì）隨機參數（shù）標準差的靈（líng）敏（mǐn）度矩（jǔ）陣式( 12) 可以看出，所有隨機參數數（shù）值的增加可以導致主軸係統頻率穩定性變差．

     5 、結語

     本文基於有限元方法，利用有限元軟（ruǎn）件對數控車床主軸係（xì）統單元進行參數化建模． 利用ANSYS 的模態分析得到（dào）主軸係統（tǒng）的前8 階固有頻率（lǜ）及相應振（zhèn）型． 比較主軸係統（tǒng）的工作轉速與（yǔ）臨（lín）界（jiè）轉速，分析進行可靠度（dù）計算及靈敏度設計的必要性． 基於（yú）ISIGHT 軟件進行正交試驗設計，利用BP 神經網絡擬合出功能函數表達式． 利（lì）用一次二階矩法求解主軸係統的頻率可靠度並求解（jiě）各隨機參數對失效概率（lǜ）的可（kě）靠性靈（líng）敏度，說明了各尺寸參數變化（huà）對於該主軸係統頻率可靠度的影響程度． 所得（dé）數據結果對於指導零部件參數設計、實（shí）際生產加工和主軸使用壽命提高具有指導意義．