摘（zhāi）要: 基於有限元法參數化建立主軸係統三維（wéi）有（yǒu）限（xiàn）元模型（xíng），將軸（zhóu）承簡化為彈性支撐． 考慮皮帶輪（lún）和卡盤的影響，對整個主軸係統進行模態分析，得到（dào）主軸係統的前八階固有頻（pín）率及固有振（zhèn）型． 進行臨界轉速分（fèn）析，將工作轉（zhuǎn）速與非零最低階（jiē）頻率對應（yīng）的轉速進（jìn）行比較，驗證主軸設計的合理性． 利用ISIGHT 集成（chéng）ANSYS 進行正交試驗設計並計算非零最低階固有（yǒu）頻率，將有公差範（fàn）圍要求的軸段的直徑和長（zhǎng）度以及基本物（wù）理參數作為隨機變量，采用BP 神經網絡擬合主軸係（xì）統非（fēi）零最低階固有頻率（lǜ）與隨（suí）機變（biàn）量之間的關係． 利（lì）用一次二階矩法計算主軸係統在（zài）特（tè）定轉速下的（de）可靠度並求解各（gè）隨機參數（shù）的可靠性靈敏度．

     關鍵詞: 主軸（zhóu）係統; 有限元法; 神經網絡; 可（kě）靠度; 可靠性靈敏度

     主（zhǔ）軸係統是數控（kòng）車床（chuáng）的關鍵部件［1 － 4］． 主（zhǔ）軸係統的（de）動態特性很大程度上決定了整個機床的（de）加工質量和切削穩定性． 主（zhǔ）軸（zhóu）係統工作頻率接近其固有（yǒu）頻率時會發生共振，從而嚴重（chóng）影響車床的加工精度． 因此，主軸的正常轉（zhuǎn）速必須遠離其臨界轉速．

     在設計加工過（guò）程中，主軸係統不同軸段的尺寸會有一定偏差，將其視為影（yǐng）響主軸係統可（kě）靠度的隨機（jī）變量; 尺寸的微（wēi）小變化會引起整（zhěng）個主軸係統固有頻率的（de）變化． 由於各隨機變量的影響程度不同，因此研究頻率可靠性及主軸係統失效（xiào）概率對各隨機（jī）變量的靈敏度具（jù）有重要的（de）意義．

     本文基於有限元軟件［5］對（duì）數控車床主軸（zhóu）係統進行參數化建模，利用ISIGHT［6］集成（chéng）ANSYS進行正交試驗設計，對隨機（jī）參數進行抽樣，計算非零最低階固有頻率． 根據抽樣計（jì）算結果，結（jié）合BP神經網絡技術得到了主軸係統非零最低階固有頻率與所有隨機變量的擬合關係，進而（ér）利用一次二階矩法計算主軸係統在最高轉速時的可靠度並求解可靠性靈敏度．

      根據主軸係統有限元分析結果以及可靠性靈敏度計（jì）算結果，指導實際設計加（jiā）工．

      1 、主軸係統有限元（yuán）模型

     1. 1 主軸係統基本結構及參數

     主（zhǔ）軸是一種典型的中空階梯軸（zhóu），將錐度較（jiào）小的軸麵簡（jiǎn）化為等直徑軸麵，將軸內孔徑視為常（cháng）數，忽略軸段倒（dǎo）角及圓角． 主軸前端安裝標準三爪卡盤，末端固聯皮帶輪． 在主軸高速旋轉（zhuǎn）過（guò）程中，可將皮帶（dài）輪和（hé）卡盤與主軸視為（wéi）一體，經合理簡化後的主軸係（xì）統結構如（rú）圖（tú）1 所示．

     
                  圖1 主軸係統結構簡圖

     主軸係統的基本物理參數如表1 所示． 圖1中標注出的各軸段直徑、主軸內孔直徑以及後兩軸段長度均有尺寸範圍要求，因此作為尺寸隨（suí）機參數． 將彈性模量、泊鬆比、軸（zhóu）承剛度、材（cái）料密度這4 個物理參數同樣看作隨機變量（liàng）． 所有隨機參數均服從正態分布，標準差取為均值（zhí）的5%．

                            表1 主軸係統基本物理參數
   

     1. 2 軸承的簡化及約束

     本文將前（qián）後軸承（chéng）均簡化為彈性支撐，支點位置位於軸的表麵，如圖2 所示． 在主軸的前、後端分別有（yǒu）軸承支撐，因此需要建立8 個彈簧單元． 假設軸承（chéng）隻具（jù）有徑向剛度，且剛（gāng）度值為常（cháng）數，見表1．

  
      
                   圖2 軸承彈（dàn）性支撐示意圖

     根據軸承特點及主軸係統結構，對彈簧（huáng）施加約束時，約束其自由端（duān）的全部自由度，即對圖2 中的T5，T6，T7和T8點進行完全約束． 對（duì）於彈簧與軸表麵的接觸端，在前軸承處施加軸向約束，後軸承處不約束，對應圖2 中的T1，T2，T3和T4點．

     1. 3 主（zhǔ）軸係統有限元模型

     使用8 節點SOLID185 單（dān）元和COMBIN14 單元分別建立主（zhǔ）軸和彈簧單元． 對主軸係統進行適當簡（jiǎn）化，按照有限元分（fèn）析的要求，使（shǐ）彈簧約束處（chù）節點號（hào）固定不變，將主軸係統劃分為6 976 個（gè）單元（yuán），8 928 個節點，有限元模型（xíng）如（rú）圖3 所示．

     
                     圖3 主軸係統有限元（yuán）模型

     2 、主軸（zhóu）係統模態分析（xī）

     主軸（zhóu）係統的靜力分析［7］體現剛度對主軸加工精度（dù）的影響． 模態分（fèn）析通過研（yán）究無阻（zǔ）尼係統的自由振（zhèn）動，得到其自然屬性． 進（jìn）行模（mó）態分析可以直觀地（dì）了解主（zhǔ）軸係統的固有頻（pín）率及變形程度［8］．

     首先根據達朗貝爾原理，建（jiàn）立動力學基本方程:

     式中: M，C，K 分別為（wéi）質量、阻尼和（hé）剛度矩陣; x，x·和（hé）x··分（fèn）別為位移、速度和加速度矩陣; F 為激振力矩陣．對（duì）於本文來說，進行模態分析是研究主軸（zhóu）係統無阻尼自由振（zhèn）動特性，從而得到其固有頻（pín）率和（hé）振型; 因此忽略阻尼矩陣影響（xiǎng），且自由振動時（shí）無外界激振力，即阻尼矩陣C 和（hé）激振（zhèn）力矩陣F 均為零矩陣． 設解（jiě）為

     將式( 2) 代入式( 1) ，並使特（tè）征矩陣（zhèn）行列式為零，得到關於ω 的n 次方程，開方後得到n 階固有頻率．

     根據第1 節中對（duì）數控車床（chuáng）主軸係統的參數化建模，進行模態擴展和結果後處（chù）理，利用有限元軟件進行模態分析（xī），使用Block Lanczos 法（fǎ）提取固有頻率，選取前8 階振型，各（gè）階固有頻率數值及對應的振型分別如表2 和圖4 所示．

                    表2 主（zhǔ）軸係統前8 階固有頻率及振型

     由以上（shàng）結果可以看出（chū），第1 階頻率為（wéi）0． 第2，3 階頻率相同，第4，5 階頻率相同（tóng），表現為正（zhèng）交;可以將其視為（wéi）重根，其振型也隻是方向不同． 第6階和第7 階（jiē）頻率為單根，其振動形（xíng）式分別為扭轉和拉伸，而沒（méi）有彎曲和（hé）擺動． 進（jìn）一（yī）步求解主軸係統的臨界轉速:n = 60f ． ( 3)式中: n 為臨界轉速，r /min; f 為頻率，Hz．根據式( 3) 和表（biǎo）2，計算出各階次頻率對應的轉（zhuǎn）速為: 第1 階0; 第2，3階同（tóng）為18 462 r /min; 第4，5 階同為28 254 r /min; 第6 階為44 875. 2 r /min; 第7 階為52 468. 2 r /min; 第8 階為55 278 r /min．隻考慮轉速非零的（de）最低階即第2，3階固有頻率所對應的轉速［9］． 本文中主軸係統的工作轉速最高值為6 000 r /min，小於2，3階固有頻率所對應的轉速，即18 462 r /min．

                         圖4 主（zhǔ）軸係統前8 階振型圖
   

     3 、ISIGHT 試驗設計及神經網絡擬合

    利用ISIGHT 集成ANSYS 設計正交試驗，通過（guò）修改模擬計算模塊的輸入文件來完成對模型的修改，從而（ér）能夠高效地得到所（suǒ）需數據．

    將圖1 中標注的9 個尺寸參數及表1 中所（suǒ）列出的4 個基本物理參數共（gòng）13 個參數作為（wéi）隨機變量（liàng），采用拉丁超（chāo）立方( LHS) 設計方法，得到需要的樣本，最後通過ISIGHT 與ANSYS 接口調用（yòng）ANSYS 進行相應的有限元分析和計算，得到主軸係（xì）統非零最低階（jiē）固有頻率（lǜ）的值．

     利用BP 神（shén）經網絡［10］擬合主軸係（xì）統非零（líng）最低階固有頻率與設計變量之間的（de）函數關係． 隱含層的激勵函數選用Sigmoid 函（hán）數，輸出層的（de）激勵函數選用線性Purelin 函數（shù），則上述函數關係可表示為（wéi）

      
                  圖（tú）5 網絡訓練輸出值與有限元分析值的比（bǐ）較
 

                                    圖6 網絡訓（xùn）練誤（wù）差（chà）

     4 、頻率可靠度及（jí）可靠性（xìng）靈（líng）敏（mǐn）度計算

     研究主軸係統在最高工作轉速即6 000 r /min( 對應頻率100 Hz) 時的可靠度（dù）及可靠性靈敏度．可靠（kào）性指標β 是一個無量綱數（shù）［11 － 12］:

     一次二階矩（jǔ）法將功能函數展開成泰勒級數並取至一次項，按照可靠性指標（biāo）的定義形成求解方程，隻需要變量的均值和方差即可求解．

     設功能函數為gX( X) ，將功能函數在均值處展開，得到可靠性指標β 的（de）近似表達式為

     式中Φ 為標準正態分布函數．

     基於神經網絡擬合得到的數學模型，建立功能函數（shù）gX( X) = F( X) － 100，這裏F( X) 為神經網絡的輸出值，100 為本文所（suǒ）研究的主軸係（xì）統最高轉速6 000 r /min 對（duì）應的頻率即100 Hz． 利用（yòng）一（yī）次二階矩法得到主軸係統結構的（de）可靠度分析結果． 其中，可靠性指標（biāo）β = 4. 841 3，頻率可靠度Ｒ =0. 999 999 355 ．

     進而（ér）求解主軸係統失效概率對各尺寸隨機參（cān）數的靈敏（mǐn）度． 可靠性靈敏度（dù）［13 － 14］就是結構係（xì）統基本隨機變量的變化（huà）引起結構失效概率變化的敏感性． 失效概率對隨機變量均值和方差的靈敏（mǐn）度計算表（biǎo）達式分別為

     材（cái）料參數及軸承剛度在機械加工中通常難以控製，因此本文主要研究前文（wén）所述的9 個尺寸參數即X =［d0，d3，d4，d6，d7，d8，d9，h8，h9］對主軸係統可靠性的影響． 可靠性靈敏度計算結果如下:

     從失效概率（lǜ）對隨機參數均值的靈敏度矩陣式( 11) 可以看（kàn）出，d0，d3，d8，h8，h9數值的增加會導致主軸係統頻率（lǜ）穩定性變差; d4，d6，d9數值的（de）增加則導致主（zhǔ）軸（zhóu）係統頻率的穩定性更好．

     從失效（xiào）概率對隨機參數標準差的靈敏度矩陣式（shì）( 12) 可以看出（chū），所有隨機參數數值的增加（jiā）可以導致主軸係統頻率（lǜ）穩定性變差（chà）．

     5 、結語

     本文基於有限元方法，利用有（yǒu）限（xiàn）元軟件對數控車床主軸係統單元進行參數化建模． 利用ANSYS 的（de）模態分析得到主軸係統的前8 階固（gù）有頻率及相應振型． 比較主（zhǔ）軸係統的工作轉速（sù）與臨界轉速，分析進（jìn）行可靠度計算及靈敏（mǐn）度設計的必要性． 基於ISIGHT 軟件進行正交試驗設計，利用BP 神經網（wǎng）絡（luò）擬（nǐ）合（hé）出功能函數表達式． 利用一次二階矩法求解主（zhǔ）軸係統的頻率可靠度並求解各隨機參數對（duì）失效概率的可靠（kào）性靈敏度，說明了各（gè）尺寸參數變化對於該主軸係統頻率可靠度的影響程度． 所得數據（jù）結果對於指導零（líng）部件參（cān）數設計、實際生產加工和主軸使用壽命提高具（jù）有指導意義．