１　單對齒輪的齧合剛度（dù）模型

      本文主要考慮在輸入轉速和負載扭矩不變的條件下，輸出齒輪轉角的變化情況。齧合剛（gāng）度模型是一個最（zuì）基本（běn）的齒輪副分析模型（xíng），隻考慮了齒輪副本身的影響因（yīn）素，忽略了（le）傳動軸的彎曲變形、扭轉變形和軸承的（de）支撐剛度等。齒輪的（de）齧合（hé）剛度分析模型如圖１所（suǒ）示。

      其中，θｐ、θｇ分別為驅動齒輪、從動齒輪的扭轉位（wèi）移；

      Ｒｐ、Ｒｇ分別為驅動齒輪、從動齒輪的基圓半徑；Ｔｇ、Ｔｐ分別為負載（zǎi）轉矩和輸入轉矩（jǔ）；Ｊｐ、Ｊｇ分別為驅動齒輪、從動齒輪的轉動慣量；ｋｍ為輪齒的齧合綜合剛度；ｃｍ為輪齒的齧合阻尼。

      齒輪齧合剛（gāng）度（dù）模型的建模條件是：驅動輪ｐ勻速轉動，負載（zǎi）扭矩Ｔｇ為恒定負載。假（jiǎ）設在齧（niè）合線方向上齒輪的相對（duì）位移為ｘ，則ｘ＝Ｒｐθｐ－Ｒｇθｇ。由於齒輪間的（de）齧合力Ｆｋｍ＝ｃｍｘ　·＋ｋｍｘ，則Ｆｋｍ為：

      齒輪副的動力學方（fāng）程為：

      ２　傳動鏈齧合剛度動力學模型（xíng）

      ２．１　直齒輪係統齧合剛度動力學模型［１］

      在單對齒輪副齧合剛度分析模型的基礎之上，考慮了傳動軸的扭轉剛度之（zhī）後就形成了直齒輪子係（xì）統（tǒng）的動力學模型，如圖２所示。其中，Ｊ１２、Ｊ１３、Ｊ３３、Ｊ４２分別（bié）為各（gè）直齒輪的（de）轉動慣量；θ１２、θ１３、θ３３、θ４２分別為各直齒輪的旋轉角；Ｔ１２為輸入端的驅（qū）動扭矩；Ｔ４２為輸出端的負載扭矩；ｃｎ為齒輪副的齧合阻尼；ｋｎ為齒輪副的（de）齧合剛度；ｋⅢ為Ⅲ軸的扭轉剛度。

      直齒輪係統分析模型的前提條件是：輸入（rù）齒輪為勻速旋轉運動，輸出負載扭矩為恒定負載。結合式（２）和牛頓力學理論，可（kě）以得到如下的微分方（fāng）程組：

      其中：Ｒ１２、Ｒ１３、Ｒ３３、Ｒ４２分別為各（gè）直齒輪的基圓半徑。

      根據Ｌａｐｌａｃｅ變換（huàn）對式（３）進行處理，得到關於變量ｓ的（de）多元一次方（fāng）程組，代入設（shè）計（jì）數據（jù）（數據保密），得出直齒輪子係統動力學模型（xíng）的轉（zhuǎn）角傳遞函數Ｇ４２為：

      其中：θ１２、θ４２分別是θ１２、θ４２的Ｌａｐｌａｃｅ變（biàn）換。

      其中：ＲＳ、ＲＮ分別為太陽輪和行（háng）星輪（lún）的基圓半徑。

      （２）內齒圈（quān）與行星輪在齧合線方向上的相對位移（yí）δＲＮ為：

       ２．２．２　齒輪齧（niè）合（hé）力的計算

      （１）內齒圈與行星輪的齧合力ＦＲＮ為：

      將（jiāng）式（４）～式（８）代入到式（９）、式（１０）中，並轉化成方程組的形式為（wéi）：

      式（１１）中的變量為（wéi）：ＴＣ，θＳ，θ１，θ２，θ３。由於θ１＝θ２＝θ３，故用（yòng）θＮ來替代，使之滿足θＮ＝θ１＝θ２＝θ３。將
 

      式（１１）進（jìn）行Ｌａｐｌａｃｅ變（biàn）換，代入設計數據（數（shù）據（jù）保密）求得轉（zhuǎn）角（jiǎo）傳遞函數（shù）ＧＣＳ：

      其（qí）中：θＣ、θＳ分別（bié）為θＣ、θＳ的（de）Ｌａｐｌａｃｅ變換（huàn）形式。

     ３　傳動鏈動力學總模型

      將（jiāng）前麵的直齒輪係（xì）統和行星差速器係統的動力學模型進行綜合，用轉角傳遞函數來表示最終的動（dòng）力學模型。由於這兩個子係統是串聯關係，因此總傳動（dòng）鏈模型的轉角傳遞函（hán）數為：

      運用（yòng）ＭＡＴＬＡＢ軟件對轉角傳遞函數進行單位斜坡響（xiǎng）應分析，得到的曲線如圖４、圖５所示。

      ４　結論

      由圖（tú）４、圖５可（kě）得出如下結論：①在齧合剛度影響下的傳動鏈轉角的輸出曲線與輸入曲線之間存在著轉角誤差，這會影響該（gāi）機床傳動鏈的傳動（dòng）精度（dù）和傳（chuán）遞的準確性；②轉（zhuǎn）角誤（wù）差響應曲線經過（guò）一定的震蕩後（hòu）期後，穩定為一條水平的直線，這表明齧合剛度影響下的傳動鏈轉角（jiǎo）誤差是一個不隨（suí）時間變化的恒定；③齒輪的理論轉角相（xiàng）應曲線的斜率與齧合剛度模型下的轉角響應曲線斜率基（jī）本相（xiàng）同（tóng），說明齧合剛度（dù）對傳動鏈（liàn）的傳動比基本沒有影響。