0 前言（yán）

     五軸數控加（jiā）工技術近年來被廣泛的應用於民用工業和軍事工業產品的加工。由於同傳統三軸加工相比增加了兩個附加（jiā）的自由度，五軸加工能夠獲得更（gèng）高的生產效率和更好的加工質量，因此成（chéng）為了（le）數控領域研究的重點。

     五軸加工中的刀具路徑（jìng）規劃問題一直是能否實現高效的自由曲麵加工（gōng）的關鍵。目前，在實際生產中（zhōng）應用較多的刀具路徑規（guī）劃方法還是比較基本的等參數線加工方法和（hé）等截麵（miàn）線加工方（fāng）法[1]，由（yóu）於上述方法均為按事（shì）先給（gěi）定的方向確定加工路徑，加工表（biǎo）麵殘餘高度誤差的分布不均勻，為保證最大殘餘高度誤（wù）差而使走刀行距過於保守，加工效率偏低。因此提高加工效率，充分發揮五軸數控加工設備的性能是亟待解決的問題[2]。

    為了產生高效（xiào）合理的（de）刀具路徑（jìng），國內外學者提出了（le）多種不同的方法，並且在（zài）應用（yòng）中取（qǔ）得了一定的成效。國外學者如RAO 等提出Principal axis 方法， PI 等提出Grind-free 方法，LIN 等發展出誤差自適應生成算法；周豔紅、周雲（yún）飛、高軍和楊勇生等國內學者也在這個方麵進行了（le）深入和細致（zhì）的（de）研究，提出了不同的五軸刀具（jù）軌跡生成算（suàn）法並得到了實（shí）際應用。大部分現有的方法采用類似的處理過程，從曲麵的一條邊界作（zuò）為初始路徑，通過一定的算法得到偏置的後續路徑（jìng）。本（běn）文采用了一種新的方法，通過計算曲麵各處的有效加工域的寬度和最優（yōu）域加工方向，搜索得到曲麵（miàn）上一條優化（huà）的初始化路徑，並且構建（jiàn）了一種迭代算法生成相鄰的刀具路徑。最終生成的(近似)最優路徑具有最大的切（qiē）削寬度和最短的刀具路徑總長度。

1 有效（xiào）加工域參數計算

     數控加工成（chéng）形過程就是刀具沿著預定的刀具路徑對工件毛（máo）坯進行切削加工，最終形成工件外形的過程。切削過程中刀具通過掃掠在被（bèi）加工表麵形成了一個（gè）加工區域，此加工的部分（fèn）區域與理想加工麵的誤差（chà）小於（yú）或等於預定的加工精度要求，而（ér）其餘部分區域則不符合加（jiā）工精（jīng）度要求。本文將符合加工精度要求的那部分加工區域定義為有效加工域。可見，要將（jiāng）工件表麵加工成形，必（bì）須（xū）滿足有效加工域（yù）完全覆蓋被加工麵這一要求。

     有效加工域（yù）的兩個最重（chóng）要的特征參數是域寬度和域切削方向（xiàng）。域寬（kuān）度表征有效加工域（yù）覆蓋（gài）區域的大小，域（yù）切（qiē）削方向表征（zhēng）了產生（shēng）的刀具路徑的流向，直接影響域寬度值（zhí）。兩（liǎng）者都會對最終產生的刀具路徑質量產生（shēng）重大的影響，因此（cǐ）是本（běn）文描述的重點。有（yǒu）效加工（gōng）域參數計算的目標就是得（dé）到具（jù）有最大域寬度的刀具路徑及其流向。有效加工域的形成涉及到加工表麵與加工刀具的相互作用，對其研究必然牽（qiān）涉（shè）到對被（bèi）加工表麵的幾何特征和刀具的幾何特征的描述問（wèn）題（tí）。對於工件被加工麵的描述已（yǐ）經有（yǒu）了統一的（de）數學表達，因此主要討論刀具的幾何描述問題。

     1.1 刀（dāo）具的（de）統一參數表達

    為了使（shǐ）得分析過（guò）程不局限於某種特（tè）殊形狀的刀具，需要（yào）尋求一種刀具的通用表達形式，使（shǐ）其可以用於各種（zhǒng）加工刀具。由於NC 加（jiā）工中刀具的旋轉速度相對進給速度來說要快的多，所以可以（yǐ）用一係列相連的直線或曲線（xiàn）的回轉（zhuǎn）麵來表示刀具的幾何形狀，所（suǒ）以（yǐ）本文采用了如圖1 所示的通用刀具（jù）統一參 數表達[3]。

     部分、中間的圓環部分和下麵的圓錐部分。其中參數r 表（biǎo）示刀具的名義半徑，h 表示倒角圓的圓（yuán）心（xīn）到刀尖的垂直距（jù）離，L 表示（shì）刀具的軸向長度，e 表示倒角圓的圓心到刀軸的徑向距離。其他的四個角度（dù）參數α，β，θ，φ分別如圖1 標示（shì）。改（gǎi）變（biàn）各變量的取值便可以得到各常用刀具模型。如圓環銑刀可以表示為一種α =β = 0，e = r – r1 的通用刀具。由刀（dāo）具的統一參數表達可以建立了刀具的幾何（hé）描（miáo）述矩陣Mt [3]，本文不再贅述。

     1.2 有效加工（gōng）域寬度（dù）和域切削方向

    有效加工域寬度是影響生成的刀具路徑質量最重要的因素。其值（zhí）大小與刀具在工件表麵切削時的姿態有（yǒu）關。為方便描述刀具在（zài）加工麵上的運（yùn）動姿態，在刀具與（yǔ）工件表麵的（de）接觸點A 處引入一個局部坐標（biāo）係(Oxl yl zl )，如（rú）圖2 所示。

      圖 2 中（zhōng）點B 為刀（dāo）具中心位置點，xl 軸的方向為A 處的瞬時切削方向，zl 軸的方向為A 的曲麵外法線方向，yl 軸的方向由xl 軸和zl 軸通過右手螺旋法則確定。λ定義為刀具繞yl 軸的傾角，ω 定義為刀具繞zl 軸的擺轉角[4]。kmax 表示被加工麵A 處最大主曲率方（fāng）向單位矢量，kmin 表示A 處的最小主曲率方向單位矢量。

     在加（jiā）工中，每個時刻（kè）刀具掃描（miáo）體外形與被加工麵的相互作用（yòng）生成了此（cǐ）刻的刀具有（yǒu）效掃描（miáo）體外形，從而最終決（jué）定了切削（xuē）產生（shēng）的幾何形貌。瞬時的刀具有（yǒu）效掃描體外形上的任意一點P 必須滿（mǎn）足條件：P點處刀具掃描（miáo）體外形曲麵（miàn）外法線矢量必須與的此時的刀具運動向量相垂直。當刀具有效掃描體外形確定後，通過（guò）計算（suàn）刀具有效掃描體外形上的點與工件表麵的距離，就可以確定有效加工域的寬度b。設刀具（jù）有效掃描體外形上的存在兩個位置點P1、P2，這兩點與被加工曲麵的距離等於預定的加工公差（chà）要求τ，則有（yǒu）效加工域寬（kuān）度的定義（yì）如下

     即有效（xiào）加工域寬度可以表示如下：刀具有效掃描（miáo）體外形上與被（bèi）加工（gōng）曲麵的距離等於τ的兩點，此兩者之（zhī）間的距離在垂直於（yú）切削（xuē）方向(矢量Yl方向)上的投影長度。

     為（wéi）了（le）得到最大的域寬（kuān）度值（zhí），加工時應當讓刀具調整姿態在無幹涉的條件下盡可能的匹配被加工表麵的（de）幾何形貌。因此域寬b 是一個（gè）關於刀具幾何描述（shù）Mlt (s)和公差τ的函數。同時還應注意到，在曲麵的某處，不同的切削方向得到的有效加工域寬度是不同的。如圖3 所示，在被加工曲麵的某處P，刀（dāo）具沿著θa 方向切（qiē）削時相對應的有效域寬度為ba，沿（yán）著θb 方向切削時對應的（de）有效域寬度為bb，此時兩者刀具（jù）的空間姿態Mlt (s)和預定的公差τ都相（xiàng）同，但得到的有效域寬度不（bú）同。

     現在引入一個新的局部坐標係( Ox y z κ κ κ ) ，xκ軸的方向為A處的曲麵最大主曲率方（fāng）向( max κ 方向)， yκ 軸的（de）方向為（wéi）曲麵最小主曲（qǔ）率方向( min κ 方（fāng）向)，zκ軸的方向為P 點處的外法線方向。定義瞬時切削方向（xiàng）和xκ 軸的夾角為切（qiē）削方（fāng）向角θ。綜上所述，b 也是（shì）關於切削方向角θ的（de）函數（shù）。即b =W(Mlt (s), θ , τ ) =W(Mt (s), λ , ω, θ , τ ) (4)通常，當切削方向與最小主曲率方向（xiàng）相（xiàng）同或非常接近時，可（kě）以取到最大的有效域寬度[5-6]。

    為減少計算量，本方法以一定間隔均勻分布的（de）曲麵（miàn）參數u，v 采樣該處的優化有效域（yù）寬（kuān）度和切削方向角，得（dé）到一個離散的（de）優化域寬度和切削方向（xiàng）角的曲麵（miàn）分（fèn）布。對於未（wèi）采樣的曲麵區域，可以（yǐ）通過相鄰的四個采樣點的數值插值計算出未采樣點的域（yù）寬度和方向角（jiǎo）數值。從這個意思上說，有效加工域規劃方（fāng）法（fǎ）是一種近似（sì）最優的刀（dāo）具路（lù）徑生成算法。

2 刀具路徑的搜索迭代（dài）生成

     傳統的刀具路（lù）徑生成算法一般（bān）都從曲麵的某一條邊界開始計算生成刀具（jù）路徑。這種方法雖然方（fāng）便了計算過程，但不能保（bǎo）證由此邊界產生的刀具路徑（jìng）即是最優的。有效加工域（yù）規劃法采用搜索算法得到（dào）整個曲麵上（shàng）一條最優的初始刀具路徑，通常情況下這條初始路徑不是（shì）曲（qǔ）麵的邊界；然後通過迭代算法生成其餘的（de）偏置路徑，最終（zhōng）使（shǐ）得生成的路徑完全覆蓋整個曲麵（miàn）。

     2.1 最優初始路徑的搜索確定

    通過上麵所述的方法我們得到了被加工曲麵上均勻分布的有效加工（gōng）域，以及每個加工域的域（yù）寬度和切削方向角的（de）集合（hé）。成為初始刀具路徑的要求是此路徑通過的有效加工域應（yīng）該具有最大的平均有效域寬度。搜索曲麵（miàn）四個（gè）邊界上的有效加工（gōng）域（yù），參考每個有效加工域的切削方向角確定下一個有效加工域，連接這兩個有效加工域作為刀具路徑的一（yī）部分，重複此過程直到遇到處（chù）於曲麵邊界上的有效加工域停止。這樣便生成了一係列（liè）的刀具路徑，因為每條路徑都是沿著各個離散加工域的最佳切削方向（xiàng）生成的，因此這些路徑上的每一個有效加工（gōng）域都取到了本域的最大域寬度。這些路徑稱為候選初始路徑。然後從這一係列候選初始路徑（jìng）中（zhōng）選出（chū）具有最大平均域寬度的一條路徑（jìng）做為初始路徑。設有N 個離散的有效加工域位於某段候選初始路徑上（shàng），此路徑的平均域寬度bav 定（dìng）義為（wéi）

     式中bi —— 編號 i 的路徑的最大域寬度值計算出每條（tiáo）候（hòu）選（xuǎn）路徑的平均（jun1）域（yù）寬度值 bav，取bav 最大值的路徑作為初始路徑。

     2.2 後續刀（dāo）具路徑的迭代生成

     確定了最佳初始路徑後（hòu），便可以通過迭代（dài）算法生成相鄰的路（lù）徑。迭代算法通過一條已知的刀具路徑生成相鄰的一條路徑，然後利用剛生成的路徑重複算法過程產生下一條路徑，如此往複循環直到所有的有效（xiào）加工域都被路（lù）徑覆蓋。下麵具體介紹迭代算法的具體實現。

     引入（rù）一個新的（de）參數 f，f 表示（shì）當前路徑的實際平均域寬度與初始路徑的平均域（yù）寬（kuān）度bav_max 的比值，稱為刀具路徑（jìng）的質量（liàng）係數，即

     式(7)說明要取的路徑TPi+1 上的對應點Pi+1, j 與當前Pi, j 的連線方向與有效域寬度的方（fāng）向相同，即在yl軸方向上。設加工曲麵的參數表達為S(u,v)，計算保證最大域寬度條件下的Pi+1, j 坐（zuò）標必須滿足

     在實際加工時，刀具的空間姿態和被加工曲麵的幾何特性在每個不同的A 處都不同，因此具有（yǒu）不同的有效加工域寬度和切削（xuē）方向角。這意味著兩條相鄰的刀具路徑通常不會是相互平行的[7]。為了防止生成的相鄰的刀具路徑間存在沒（méi）有被刀具路（lù）徑（jìng）覆蓋的間隙，還需對刀具路徑進（jìn）行校驗和調整，使之滿足下麵兩個要（yào）求。
 

     (1) 相鄰兩條刀具（jù）路徑的邊界線沒有交點。

     (2) 相（xiàng）鄰兩條刀具路徑至少在曲麵某一處重合。

     條件(1)保證了兩條相（xiàng）鄰路徑的邊界（jiè）或者是每處都（dōu）互相有一（yī）部分重疊，或者是（shì）沒有任何一處重疊。條件(2)保證了兩條（tiáo）相鄰路徑必定有一處重合，即排（pái）除了條件一中完全不重疊的情（qíng）況。這就保證了（le）相鄰的刀具路徑都相互重疊一部分，路（lù）徑間不存在間隙。通過上述方法，以路徑TPi 為（wéi）基礎生（shēng）成路徑TPi+1，然後以路徑（jìng）TPi+1 為（wéi）基礎生成路徑（jìng）TPi+2，整個刀具路徑（jìng）生成的過（guò）程就是上述方法的迭代過程。

     隨著迭代過程的進行（háng），通常情況下所生成刀具路徑的質量係數（shù）將逐漸減小，為了保證得到高效的刀具路（lù）徑，必（bì）須對產生的（de）刀具路徑的（de）質量係數進行一（yī）定的（de）限製（zhì），否則迭代（dài）的後期（qī）可能產生大量的質量不佳的刀具路徑。本（běn）文采取的方法是預先設定質量係數的下限fmin，當（dāng）檢測到當前生成的刀（dāo）具路徑的質量係數低（dī）於fmin 時，則停止本次迭代過程。然後在未（wèi）加（jiā）工區域中重（chóng）複上（shàng）述的搜索迭代算法，得到新的初始路徑（jìng），以初（chū）始（shǐ）路徑為基（jī）礎進行新的一輪迭代運算。如此（cǐ）往複，直到被（bèi）加工表麵上的所有有效加（jiā）工域都被刀具路（lù）徑（jìng）覆蓋時結束算法運（yùn）行。

3 算法的實現及應用（yòng）示例

     3.1 算法實現流程

     在微機上以上述算法為基礎，采用Matlab 和Visual C++環境編寫程序（xù）實現算法過程。算（suàn）法程序流程如圖4 所示。

     程序以已知的被加工曲麵作（zuò）為輸（shū）入，以最終的優化刀具路徑集作為輸出，並且（qiě）可以根據用戶需要（yào）改變刀具路徑質量係數的下限值以及有效加工域在曲麵上的分布密度（dù）。

     3.2 應用示例（lì）

     選取熱壓塑模具曲麵的一部分作（zuò）為（wéi）示例被加工麵，在xyz'a'c 型的五軸數控機（jī）床環境下采用環形刀（dāo）具進（jìn）行切削加工。刀（dāo）具的名義半徑r = 8 mm，圓環角圓半徑（jìng）r1 =1.5 mm。刀具的兩（liǎng）個錐度角α = β = 0o，加（jiā）工預定公差τ= 0.05 mm。為（wéi）了方便（biàn）比較，將刀具傾（qīng）角λ和ω 設置為固定值，λ= 10o，ω=3o，刀具路徑最小質量係數（shù）設為fmin = 0.75。

采用傳統（tǒng）的（de）等參數線法和本文提出的有（yǒu）效加工域規劃法分別生成相應的刀具（jù）路徑，下表是兩種方法的結果對（duì）比。

     采用上述（shù）兩種方法生成的刀具路徑在VERICUT 下進行（háng）曲麵誤差分布模型數據分析，圖5顯示了兩種刀具（jù）路（lù）徑（jìng）誤差分布比較。

     上述對比（bǐ）結果可以（yǐ）看出（chū），有效加工域規劃方法生成的刀具路徑數目和總長（zhǎng）度都減少了，尤其（qí）是路徑總長度減少了35.5%，與等參數（shù）線（xiàn）法相比較，采用有效加工域規劃法可以（yǐ）得到更短的刀具路徑總長度以及加工質量更高的加工表麵。不足的是快速（sù）移（yí）動路徑（jìng）的長度反而加大了，作者（zhě）認為這是由於等（děng）參數線法（fǎ）采用之字型走（zǒu）刀方式，因此刀具快速移（yí）動的距離比較短，而有效加工域規劃（huá）法沒有對路徑的進退刀點進行優化，這一不足也是今後對本方法進一步完善的重要方向。

4 結論

     (1) 提出了一種（zhǒng）新的五軸數（shù）控加工刀具路徑生成方法（fǎ）——有效加工域規劃（huá）法。這種方法根據刀具的幾何特征和空（kōng）間姿（zī）態結合曲麵的幾何（hé）特性，構造曲麵上的有效加工域集合，計算得到(近似)最優的域寬度和切削方向（xiàng）角參數。同時構造了一種搜索迭代算法，用於得到初始路（lù）徑和相（xiàng）鄰的後（hòu）續路徑。

     (2) 應（yīng）用（yòng）示例顯示（shì）有效（xiào）加工域規劃法相對於傳統的五軸刀（dāo）具（jù）路徑生成算法具有較明顯的優勢，同樣的加工條件下可以（yǐ）得到總長度更短的刀具（jù）路徑和更短（duǎn）的加工時間，並且能得到更高的加工精度。

     (3) 應用（yòng）過程中也（yě）發（fā）現（xiàn）了本方法的一（yī）些不足，如（rú）刀具路徑質量係數的選擇依靠（kào）主觀判斷，不參與切削的刀具路徑(如快速移動路徑)沒有得到足夠的優化（huà）等，需要進一步的改進完善。