高速電主軸滾珠（zhū）軸承-轉子係統 動態性能分析
2016-8-15 來源：哈爾濱工業大學 作者：張阿祺
在高轉速運轉下，由於球（qiú）滾動（dòng）體繞自身軸線會轉（zhuǎn）動（dòng）並且繞軸（zhóu）承（chéng）軸線也有轉動，這時球滾動體不是簡單的單一運動，而是產生滾動和滑（huá）動結合的複合運動，球滾動體的陀螺力矩、摩（mó）擦力和相應的離心力值通常會很大，摩擦力會受到較大的影響，使得外滾道發生了比較大的變形，使球滾動體的內部（bù）載荷（hé）分布發生變化。高速角接觸球軸承動力學求解（jiě）的關鍵是內外圈與滾動體的接觸角，所有的動力分析都跟接觸角有關，所有求解的關鍵也必然是接觸角。
3.1 高速狀態下的滾動體運動狀態分（fèn）析
3.1.1 軸承中的坐標係
如圖 3-1 所示，以角接觸球軸承繞 x 軸（zhóu）高速旋轉的某個球滾動體為質（zhì）點，建立了（le）三個坐（zuò）標係：
圖 3-1 軸承各坐標軸及其關係
（1）x，y,z 軸承固定坐標係，x 軸的方向與軸承旋轉軸的方（fāng）向一致；
（2）x’，y’，z’滾珠隨動坐標係，x’軸與 x 軸平行，原（yuán）點 O’為滾珠球心且（qiě）繞（rào）x 軸以軌道速度旋轉，旋轉半徑（jìng）為（wéi）md/ 2 ;
（3) U，V，W 以 O’為（wéi）原點並以軌道速度繞 x 軸（zhóu）旋轉，以滾（gǔn）珠自身旋轉軸為 U 軸， W 軸位（wèi）於 U 軸（zhóu）與（yǔ） z’的平麵內，W 與 z’的夾角為 β。
根據內圈（quān）溝道理論，軸承外圈相對固定，內圈以角速（sù）度（dù）為（wéi）做勻速運動時，軸承轉速為：
3.1.2 忽略陀（tuó）螺樞軸運動滾動體的自轉和（hé）公轉運動（dòng）
球滾動體的自轉運動，高速狀態下，主軸軸承滾動體繞自身軸線 O’U 作自轉運動：
球滾動體的公轉運（yùn）動（dòng），主軸軸承內部球滾動體繞軸承中心線 OX 軸作公轉運動時，其角（jiǎo）速度等於保（bǎo）持架的（de）角（jiǎo）速度，大小為：
3.1.3 忽略陀螺樞軸運動滾（gǔn）動體的（de）自旋運動及旋滾比
滾（gǔn）珠的（de）自旋運動（非控製溝道即內圈溝道存在自（zì）旋運（yùn）動），本文是以外圈溝道為控製溝道的高速電主軸軸承，跟其他理論體係認為存在複合運動的情況不一樣，外圈溝道控製理論認為外圈滾道隻作純滾動，並（bìng）不存在自旋運動，從而簡化（huà）了研究對象，內圈溝（gōu）道既作滾動運動又繞接觸麵法線做自旋運（yùn）動：
內圈溝道（dào）的旋（xuán）滾比為：
由式（3-6）、（3-7）、（3-38）得內圈溝道的旋滾比為：
3.2 高速狀態下滾動體（tǐ）的受力狀態分析
3.2.1 離心力
高速運轉狀（zhuàng）態下的軸承內部滾（gǔn）動體會（huì）受到比較大的離心力（lì）作（zuò）用（yòng）：
3.2.2 陀螺力矩和摩擦力
由於主（zhǔ）軸（zhóu）軸承運（yùn）轉時（shí），其內部球滾動體會發生自轉，使得（dé）軸承的（de）自身軸線 O’U會不斷地改變方向，並產生陀螺運動趨勢，陀螺力（lì）矩（jǔ）將被球軸承滾道上的摩（mó）擦力所阻（zǔ）止。陀螺力（lì）矩可表示（shì）為：
根據外圈溝道控製理論和力（lì）平（píng）衡條件，外圈的滑動（dòng）摩擦力應與陀螺力矩平衡（héng）：
3.3 軸（zhóu）承內部的變形和位移
3.3.1 預載荷引起軸承滾珠的變形和位移
一般軸承會施加一定的預載荷來（lái）提高軸承抵消外力載荷的能力，保證軸承係統的支承動態穩定性，即提高軸承的動剛度，從而提升軸承的（de）性能。但是預（yù）緊載荷不能過大，因為過量的預載荷會引起摩擦力矩的增加導致軸承發熱過大而影響軸承的使（shǐ）用壽命。軸向預載荷與（yǔ）軸（zhóu）承工作角的關係：
3.3.2 高速狀態下軸承的內部變（biàn）形和位移
由於球滾動體繞自身軸線和軸承軸線都在做（zuò）旋轉運動，所以會產生慣性載荷和離心力[5]。在低速狀態下這些慣性載荷比外（wài）載荷小得多，可以（yǐ）忽略不計，但是在高速（sù）狀態下，軸承內圈圈滾道曲率中心的初（chū）始位移為：
根據內、外圈的相對軸向位移、相對徑向位移和相對角位移可以求出內（nèi）、外圈溝道曲率中心（xīn）軌跡的軸向距離和徑向距離（lí）分別為：
由圖 3-2 可以得出各個參（cān）數之間的關（guān）係：
根據勾（gōu）股定理和相應滾道接觸變形的幾何協調條件：
圖 3-2 載（zǎi）荷作用（yòng）前後角位（wèi）置Φ 處球中心和溝道曲率中心的位置關係
3.4 高速狀態下軸承的受力（lì）方程和（hé）基本方程（chéng）組
3.4.1 球滾動體（tǐ）受力的平衡方程組
根據高速電（diàn）主軸運行的實際情況，外溝道控製基本成立，滾動體的陀螺力矩完全被球-外溝道接觸區的摩擦力所阻止。滾動體所受載荷的關係如圖 3-3 所示，那麽可得到水平和垂直方向的軸承內部受力平衡（héng）方程組：
圖 3-3 角位置Ψ處球滾動體所受載荷
3.4.2 軸承受（shòu）力的平衡方程組
軸承在軸向、徑向和繞軸（zhóu）線轉動方向受力平衡，則整個軸（zhóu）承的平（píng）衡條件：
3.5 軸承方程組的求解和動力學狀態分析
3.5.1 軸承方程組的（de）求解優化及其流程圖
由式（3-27）、（3-29）得：
很多文（wén）獻包括 Harris，都是應（yīng）用 Newton-raphson 迭代法進行求解 4Z+1 個方程組，這個方法用（yòng）於求解低數（shù）量方程組成的方程組效率挺高的，但是求解（jiě）多個方程組成的方程組會出現很大的問題，甚（shèn）至無（wú）法收斂。Newton 法存在的缺陷主要有：
（1）需求解 N2個導數值；
（2）對初值要（yào）求很高；
（3）需對 Jacobi 矩陣求逆，而此非線性方程組的 Jacobi 矩陣可能是病態的。
通過此（cǐ）法求解軸承非線性方程，很容易造成不收斂或者求解時（shí）間過（guò）長，並且（qiě）初值是由靜態值求得的，精度很低，很難滿足 Newton 法（fǎ）的要求。
采用逆 Broyden 秩 1 法的主要優點有：
（1）隻需求解 N2個算（suàn）數運算（suàn）；
（2）無需求解 Jacobi 矩陣的逆。
圖 3-6 高速球軸（zhóu）承動力學狀態分析程序流程圖
（2）通過優（yōu）化求（qiú）解方程組（zǔ），最後高速球軸承動力學狀態分析流程（chéng）如圖（tú） 3-6 所示，利用此程序流程圖編寫 MATLAB 程序，求解軸承方程（chéng）組，並得到如表 3-1 所示數據。當 n=10000 r/min，Fa=20000 N，Fr=0 N 時，本文結（jié）果通過和 Harris結果對比基本一致（zhì），Harris 結果是在一定的（de）實驗基礎上得到的，說明所編製（zhì）程序求得的結果在誤差範（fàn）圍內符合實際結果。
表 3-1 球軸承 7218 內部動力學（xué）狀態對比（bǐ）
3.5.2 預載荷對軸承初始量的影響
對軸承施加預載荷在一定程度上能使軸承（chéng）的剛（gāng）度增加（jiā），減少噪音並提（tí）高軸承的工（gōng）作精度，但是預載荷過（guò）大則降低軸承的使用壽命，過小則得不到預期的效果。
圖 3-4 預載荷與實際接觸角的關係
圖 3-5 預載荷與軸承初始位移的關（guān）係
（1）預載荷對軸承實（shí）際接觸角的（de）影響如圖 3-4，當增大預載荷時，軸（zhóu）承的實際接觸角隨之變大，但是增加的趨勢變小，即斜率變小，所以在施加預載荷時應控（kòng）製其大小，以免軸承的工作接觸角（jiǎo）過大，使得摩擦力增（zēng）加，進而（ér）影響軸承壽命。
（2）預載荷對軸承初始位移的影響如圖 3-5，當增大預載荷（hé）時（shí），軸承初始位移也（yě）隨之（zhī）增大，但是趨勢在一定（dìng）程度上減小。由式（3-46）結合圖 3-5 可以（yǐ）得（dé）出（chū），命產生影響。
3.5.3 轉速對軸承動態性能的（de）影響
軸承轉速對軸承動態性能有很大（dà）的影響，它是衡量（liàng）軸承（chéng）性能的重要參數。軸承轉速越高，主軸（zhóu）機床的加工性能越好，但是軸承轉速越高，其對軸（zhóu）承內部動力學特性影（yǐng）響（xiǎng）越（yuè）大。轉速 n 引起了軸承滾動體的離心力和陀螺力矩的變化，也（yě）改變（biàn）了軸承滾動體在（zài）滾道上的（de）實際接（jiē）觸角，實際的滾道（dào）接觸載荷等軸承內部動力學量。
（1）轉速（sù）對（duì）軸承滾道實際接觸角的影響如圖 3-7，主軸軸（zhóu）承在高速狀態時，由於滾動體（tǐ）的離心力和陀螺力矩的影響，滾動體會遠離內圈趨向（xiàng）外圈，使得內圈接觸角增大而外（wài）圈接觸角（jiǎo）減小（xiǎo）。轉速越（yuè）高，滾動體的內外圈實際接觸角的值相差越大。
圖 3-7 轉速與滾道接觸角的關係
圖 3-8 轉速與滾道（dào）接觸載荷的關係
（2）轉速對軸承接觸載荷和接觸（chù）應力的影響如圖 3-8 和圖（tú） 3-9，主軸軸承在高速運轉（zhuǎn）時，其（qí）滾動體在內圈接觸載荷和接觸應力在減小，減小幅度較小；在外圈滾道上接觸載（zǎi）荷和接觸應力在增大，在轉速（sù）超過 10000r/min 時（shí）變化幅度很大。在轉速超過 15000r/min 時內外圈的接觸載荷和接觸相差很大，對軸承性能（néng）產生很大的影響（xiǎng）。
（3）如圖 3-10 轉（zhuǎn）速對軸承（chéng）接觸位（wèi）移的影（yǐng）響，轉速提高時，軸承的軸向位（wèi）移減小，而且減小（xiǎo）趨（qū）勢變快，由於 Fa不變，軸向位移減（jiǎn）小，所以此時軸承的軸向剛度稍微（wēi）變大，對軸承性能產生有益的一麵。但是這個影響有限，需要我（wǒ）們權衡利弊。
（4）轉速對（duì）離心力（lì）、陀螺力矩（jǔ）的影（yǐng）響如圖（tú） 3-11 和圖 3-12 所示，高速狀態球軸承隨著轉速的提高（gāo），軸承球滾動離心力體會隨之增加（jiā）達到了相當大的值，陀螺力矩也是一樣的。離心力是（shì）球滾動體的慣性特性引起的，這時已經成為（wéi）影（yǐng）響軸承內部動（dòng）力學狀態的主要因素，而由於陀螺力矩是由外圈摩擦力來抵消的，其值過大將使外圈摩擦力增大，發熱變大，進而影響軸承動（dòng）態性能。
圖 3-9 轉速與內外圈最大接觸應力的關係
圖 3-10 轉速與軸向（xiàng）位移的關係
圖 3-11 轉速與離心力的關係
圖 3-12 轉速（sù）與陀螺力（lì）矩的關係
（5）從圖（tú） 3-13 可以看出轉速對旋滾比的影響，隨著（zhe）轉速的提高（gāo），軸承滾動體在內圈的旋滾比迅（xùn）速增加，使（shǐ）得球與內圈滾道的滑動摩擦增加進而發熱加劇，嚴重影響軸承的正常工作降低軸承的疲勞壽命。
圖 3-13 轉速與內圈旋滾比的關（guān）係
圖 3-14 轉速與軸承內外圈疲勞壽命的關係
（6）轉速對（duì）軸承內外圈的疲勞壽命的影響如圖 3-14，隨（suí）著轉速的（de）提（tí）高，內圈疲勞壽命不斷增（zēng）加，而外圈的疲勞壽命卻劇（jù）烈降低，這是（shì）因為轉速增加後內圈的接觸載荷和接觸應力在減小，而外圈卻大幅增加的關係。
3.5.4 不同轉速下的推力作用載荷對軸承動態性能的（de）影響
本文設計主要針對高速主軸所受軸向力影響，徑（jìng）向載荷和傾（qīng）覆載荷都比較小，可以忽略。同時（shí）軸承處於穩定工作環（huán）境下，軸向載荷（hé）受的衝擊很小很平穩（wěn）。
圖 3-15 推力作用載荷與接觸角的關係
（1）推（tuī）力作（zuò）用（yòng）載荷對滾道（dào）實際接觸角的影響如圖 3-15，當推力作用載荷變大時，軸承的內圈接觸角減小，外（wài）圈（quān）接觸角變大。低速時推力（lì）作用載荷對接（jiē）觸角的影響較小，高速時接觸角變化率很（hěn）大，接（jiē）觸角趨（qū）向接近初始接觸角，對軸承性能有一定的影響（xiǎng）。
（2）推力（lì）作（zuò）用載荷對滾道接觸載荷的影響如圖 3-16，隨著（zhe）推力作用載（zǎi）荷的增加，軸承內外圈接觸載荷會隨之增加，對軸承的運轉和壽命（mìng）產生不利的影響。其中在轉速為 15000 r/min 時外（wài）圈接觸載荷在低速時受推力作（zuò）用載荷影響不大，因為這時主要受高（gāo）速轉（zhuǎn）速的（de）影響。而在較低速和高速內圈的接觸載荷受推力作用載荷的影響較大而且基本上成正比例關係。
（3）推力作用載荷對內外圈接觸應力的（de）影（yǐng）響如圖 3-17，隨著載荷的增加，軸承內外圈（quān）滾道接觸應力隨之增加，這跟推力作用載荷影響內（nèi）外圈接觸載荷的情形基本相同，這裏不再重複敘述。接觸應力的大小會影響軸承的（de）疲勞（láo）壽命。
（4）推力作用載荷對軸向（xiàng）位移的影響如圖 3-18 所示，隨著軸承推力作用載荷的增加（jiā），軸承（chéng）的軸向（xiàng）位移也在不斷的增加，但是增加的（de）趨勢在明顯的減小。由公式（3-41）可知。軸承的剛度也在隨著增加（jiā），其中（zhōng）當轉速等於 15000 r/min 時，軸承的剛度增加得最（zuì）快。而在低速時軸承的剛度基本不變（biàn）。
圖 3-16 推力作用載荷與滾道（dào）接觸載荷（hé）的關係
（5）推力作用載荷對離（lí）心力的影響如圖 3-19，在低速時軸承滾（gǔn）動體的離心力基本不受推力作用載荷的影響，而在轉速超過（guò） 15000 r/min 時（shí）離心（xīn）力隨著推力作用載荷的增大而減（jiǎn）小，這是因為推力作用載荷影響了（le）工作接觸（chù）角進而影響滾珠（zhū）公轉轉速的關係。
（6）推力作用載荷對陀螺力矩的（de）影（yǐng）響如圖 3-20 所示，在低速（sù）時軸承滾（gǔn）動體的陀螺力（lì）矩（jǔ）基本不受推力作（zuò）用（yòng）載荷的影響，而在轉速超過 15000 r/min 時陀螺力矩隨（suí）著推力作用（yòng）載荷的（de）增大而增大，這是因（yīn）為（wéi）推力作用載荷影響了工作接觸角（jiǎo）進而影響滾珠公轉（zhuǎn）和自轉轉（zhuǎn）速的關係。由於陀螺力矩是由外圈摩擦力抵消的，其值不能（néng）超過外（wài）圈動摩擦力，不然假設不成立。
（7）推力作用載荷對旋（xuán）滾比的影響如圖 3-21 所示，隨著（zhe）推力作用載荷的提高，軸承（chéng）滾動體在內圈的旋滾比有所降低，球與（yǔ）內圈滾道（dào）的滑（huá）動（dòng）摩（mó）擦減少。此外，在低轉速時推力（lì）作用載荷對旋滾比基本沒有影響。
圖 3-18 推力作用載荷與軸向位移的關係
圖 3-19 推力（lì）作用載荷與離心力的關係
圖（tú） 3-20 推力作用載荷與陀螺力矩的關係
圖 3-21 推力作用載荷與旋滾比（bǐ）的關係
3.6 本章小結（jié）
本章（zhāng）通過對高速角接觸球軸（zhóu）承（chéng）的分析得出以下結論：
（1）同樣大小的高（gāo）轉速運轉下，一（yī）定程度的預載荷通（tōng）過對軸承的位移和滾動體與內外滾道的接觸角的影響，提高軸承的（de）動剛度，有利於軸承動態性（xìng）能的提升。
（2）通過轉速、推力（lì）作用載荷（hé）對（duì）離心力、旋滾比和陀螺力矩等動力學量的影響分析，可以看出高轉速和不同的推力作用載荷引起了軸承滾動體運動狀（zhuàng）態的巨大變化，軸承滾動體在滾道上的（de）實際接觸角和實際的滾道接觸載荷也發生很大的變化，從（cóng）而改變（biàn）了軸承的動剛度等動力學性能。最後（hòu）也會對後麵電主軸（zhóu）軸承-轉子係統的動態性能研究產生較大的影響。
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