高速電（diàn）主軸滾珠軸承-轉子係統 動態性（xìng）能分析
2016-8-12 來源： 哈爾濱工業大學 作者： 張阿祺
轉軸和支承軸承是（shì）電主軸係統的核心元件，軸（zhóu）承（chéng）的支承性能和轉軸的設計參數對係統的動態性能影響（xiǎng）很大，電主軸轉速高、功率大，是高速切削技（jì）術和高（gāo）速數控機床的主體和核心部（bù）件（jiàn）之一，很有必要對軸承的結構參數和電主軸的（de）設計參數進（jìn）行了解。單純研究（jiū）主軸轉子或單（dān）純研究軸承都不具有很大的實際意義，需（xū）要結（jié）合軸承和電主軸轉子為一體，綜合（hé）研究係統（tǒng）的動態性能，因此（cǐ），對電主軸及其支承軸（zhóu）承的（de）關鍵參數需要具體分析。角接觸球軸承的宏觀受力分析是基礎（chǔ），但是本文還需要對軸承微觀受力分析（xī）即（jí）分（fèn）析軸承的內部受力狀態，了解軸（zhóu）承（chéng）中每一個球滾動（dòng）體的受力（lì）載荷（hé），進而再了解軸承在外力（lì）作用下的載荷是如何分配的。在靜載（zǎi）荷作用（yòng）下的軸承，或者是轉速很低的軸承，所受到的慣性力、摩擦力和力矩等不會（huì）對球滾動體間（jiān）的（de）載荷分配產生明顯的影響，因而忽略部分微小影響因素來研究靜（jìng）載荷作（zuò）用下的球軸承。
2.1、主軸（zhóu）及其軸承的幾何結（jié）構
如圖 2-1，完整的（de）電主軸係統主要包括：數（shù）控係統、潤（rùn）滑係（xì）統、過濾調壓係統、油氣（qì）混合（hé）係統、冷卻係統、驅動係（xì）統和電主軸，本文主（zhǔ）要研究電主軸的動態性能。
圖 2-1 完整的電主（zhǔ）軸係統
高速電（diàn）主軸的軸承布局形（xíng）式[43]影響著電主軸係統的剛度和動態特性，所以選擇也要有的放矢，目（mù）前主要有兩種結構形式，這是根據主軸的支承軸承和（hé）內置電機相對位置的不同來劃分的：
（1）電主軸的內置電機安裝在（zài）主軸轉子的後軸承之後，也就是在（zài）兩個支承軸（zhóu）承的外部。這種（zhǒng）結構（gòu）布局使得電主軸的軸向尺寸相對較（jiào）大，對（duì）空間要求比較高，但有利於減少主軸前端的徑向尺（chǐ）寸（cùn）、散熱快[44]，一般應用在小高速數控機床上（shàng）[45]；
（2）內置電機安裝在主軸轉（zhuǎn）子的兩個軸承之間[46]，如圖 2-2 所示。這（zhè）種（zhǒng）結構具有很（hěn）多優（yōu）點，現（xiàn）在的很多高（gāo）速電（diàn）主軸和高速數控機（jī）床都采用這種布（bù）局形式[47]。
本文主（zhǔ）要研（yán）究角接觸球軸承支承的電主軸，角接（jiē）觸球軸承（chéng）不僅具有高製造（zào）精度、高（gāo）運轉穩定性、高極限轉速而（ér）且還擁有（yǒu）很強的承載能力，是能夠高（gāo）速（sù）化的（de）滾動軸承中的最佳選擇，在加工中心和各類機床得到（dào）廣泛應用。
圖 2-2 高速電主軸模型（xíng）
圖2-3角接觸球軸（zhóu）承7218的幾（jǐ）何結構及（jí）參數
如圖（tú）2-4為電主軸的剖麵圖，它包括前支承軸、後支承軸承、定子（zǐ）、轉子（zǐ）、轉承、軸承預緊彈簧（huáng）、前蓋、後（hòu）蓋客體等組成。
表 2-1 角（jiǎo）接觸球軸承 7218 的結構參數
圖 2-4 電（diàn）主軸（zhóu）剖麵圖
考慮到本文所設計的高速電主軸的前端軸向尺寸不受限製，所以電主軸（zhóu）的（de）結（jié）構布局形式采用采用第二種結構布局方式（shì），圖 2-2 和圖 2-4 為此布局方式的電（diàn）主軸幾何結構模型和剖（pōu）麵圖。
本文前半部分通過使用角接觸球軸承 7218 進行理論分析，得出結果與相關文獻[48,49]。相比較驗證程序的正確性。7218 相關幾何結構和參數見圖 2-3 和（hé）表 2-1。
2.2、球軸承支承的電主（zhǔ）軸設計簡介
滾動軸承支承的電主軸轉速高、功率大，是高（gāo）速切削技術和高速數（shù）控機床（chuáng）的主（zhǔ）體（tǐ）元件（jiàn），相（xiàng）比傳統的機床主（zhǔ）軸，電主（zhǔ）軸具有很多優點：
（1）傳統電主軸由於齒輪和帶輪等（děng）中間傳動裝置在生產製造時存在一定的誤差，同時在安裝軸承，電主軸等部件時存在安裝誤差，使得在電主軸高速運轉時（shí）會產生一定（dìng）的影（yǐng）響，減小了主軸轉子係統的（de）動剛度，增加了軸承和主軸轉子係統的振動響應。使得機床的（de）零件加工（gōng）質量變差，加工精度降低。電主軸係統則沒有（yǒu）中間環節，零傳動的電（diàn）主軸提高了零件的加工精度；
（2）零（líng）傳動這一突破性的（de）優勢，使得機床（chuáng）在很大程度上可以實現高速加工，提高生產率和加工精度。電主軸的結構性能設計主要需要確定電主軸的（de） D，d，a，L 等主（zhǔ）要結構參數。
2.2.1 電主軸平均直徑D
依照國內外的電主軸生產（chǎn）廠家、電（diàn）主軸研（yán）製機構、電主（zhǔ）軸軸承研究（jiū）所（suǒ）等相關部門的技術規範和參考資料（liào），依據所選用的電機（jī）、軸承和相（xiàng）關的冷卻套等尺寸參數，再跟據《機械（xiè）工程手冊》、《材料力學》、《機械工程材料》等（děng）相關資料（liào），按以（yǐ）下（xià）經驗公（gōng）式計算：
式中P ——提供能源的傳輸的功率（W）；
T ——轉軸傳遞的額定轉（zhuǎn）矩（jǔ）（ N m ），9550PTn ；
——轉（zhuǎn）軸的材料的許用切應力（MPa）；
n ——軸的轉速（r/min）；
y——主軸的（de）內直徑與外直徑之（zhī）比， y d/ D 。
2.2.2 電主軸前（qián）端懸置（zhì）量 a 的初步選取（qǔ）
電主軸的前（qián）懸置（zhì）量（liàng） a 對主軸（zhóu）的綜合總剛度矩陣、主軸的總體質量矩陣的影響很大，如果主軸的結構布局和主軸（zhóu）的空間占地大小允許的話，減小主軸軸端伸長量有（yǒu）點於主（zhǔ）軸的剛度的提升，應盡可能減小（xiǎo）主軸的軸端伸長量，以提高主軸的剛度（dù），進而提高（gāo）電（diàn）主軸的性能。
2.2.3 主軸支承最佳跨距 L 設 l0為主軸支（zhī）承軸承的最佳（jiā）支承跨距，該跨距值符合主軸前端最小靜撓度條件，是主軸在剛度、結構性能和主軸（zhóu）軸向尺寸大（dà）小的最佳取舍。
在外載荷 R 作用（yòng）下電主軸的軸端位移變量為：
式中（zhōng）zy ——假（jiǎ）設（shè）彈性軸承支承時，剛性主軸軸端位移（mm）；
sy ——假設（shè）剛性軸承支承吋，彈性體主軸軸端位移（mm）。
根據（jù）材料力學梁的撓度公式：
式中E——主軸材料的彈性模（mó）量（Mpa）；
I——主軸截麵的（de）平均慣量距（ mm4），當主軸的內孔直徑為 d，平均直徑為 D 時，公式1
由（yóu）幾何（hé）關係可得：
假設前軸承和後支承的支反力分別為（wéi） F1、F2，其對應剛度為 K1、K2，則對應的變形可表示為：
由（yóu）力平衡條件可得：
由式（2-2）、（2-3）、（2-4）可得：
2.3、球軸承宏觀幾何關係
2.3.1 靜載荷作（zuò）用下的支承軸承（chéng）
根據滾動體和滾道（dào）接觸的載荷-位移關係【47】，可知徑向載荷作用下的角接觸球軸承：
式中δr ——徑向位移（mm）；
dP ——徑向遊隙（mm）。
若無徑向遊隙時，單列軸承為了（le）保持靜力平衡，在各個方向上的球滾（gǔn）動體所（suǒ）受力之和與該方向上的作用載荷（hé）平衡，此時徑向載荷的離散形式可表示為（wéi）：
徑向載荷的積分形（xíng）式可表示為：
式中rJ(ε ) ——徑向載荷積分係數。
利（lì）用（yòng）這些積分式可計算載荷：
如圖 2-6，在推力載荷作用下的角接觸球軸承（chéng）會產生變（biàn）化，產生一個軸向的位移，根據變形幾何關係可得：
由式（2-19）和式（2-20）可得：
圖 2-6 向心球軸承內外圈移動引起的球-滾道接（jiē）觸
式中 B ——接觸體（tǐ）總曲率， 1o iB = f + f - ；
2.3.2 Hertz 接觸
100 多年前 Hertz 通過簡化和假設建立了研究兩個彈性體的空間接觸理論模型，首次對接觸麵附近（jìn）的彈（dàn）性變形使用準靜態理論，並（bìng）且應用於兩球形體表麵的接（jiē）觸（chù）中[50]。在分析中（zhōng），Hertz 提出以下假設：
（1） 所有變形都在材料的（de）彈性比例極限範圍內；
（2） 忽略表麵切應力（lì）的（de）影響（xiǎng），且載荷垂直於（yú）接觸表麵；
（3） 接觸區域的曲率半徑遠大（dà）於（yú）接觸區域的尺寸；
（4） 接觸區域（yù）的尺寸遠小於（yú）接觸體的曲率半（bàn）徑。
赫茲理論為堅硬緊湊的物（wù）體之間的碰撞提供了一個很好的（de）近似值，不（bú）過理論成立（lì）的條件之一是接觸區域比起碰撞體本身非常（cháng）小。應用此模型假設，得到了相對精確的計算結果（guǒ），就算（suàn）是現在 Hertz 理論也是計算局部接觸應力的主要方法。如圖 2-7，兩個（gè）彈性球接觸時接觸區域為橢（tuǒ）圓形，圖（tú） 2-8 為球軸承幾何關係球滾動體和凹麵體的接觸模型。
說到（dào）橢圓就必須講（jiǎng）曲率，曲率在物理（lǐ）上講是用（yòng）來描述線或麵（miàn）彎曲程度的一個量，一般取它的絕對值表（biǎo）示。正負曲率應該是一個相對含義，與法線的取向有關（guān）。一般（bān）規定：凹麵的曲率為負值，凸麵的曲（qǔ）率為正值。曲率按定義分為曲率和，曲率差，這樣就（jiù）可以將兩（liǎng）個物體的接觸轉化為一個等（děng）效橢球體與（yǔ）等（děng）效半（bàn）平麵之間的接觸。凹麵使（shǐ）接觸體更加貼近，而凸麵正好相反。
接觸（chù）體的曲率和函數可表示（shì）為：
式中1、2——滾動體在平麵（miàn） 1 和平麵 2 的曲率半徑；
1、2——內外圈在（zài）平麵 1 和平麵 2 的曲率半徑。
根據（jù）赫茲理論模型，軸承滾動（dòng）體曲（qǔ）率差函數為：
對（duì）於球滾動體在平麵 1 和（hé）平麵 2 上皆為凸麵：
對（duì）外滾道而言（外圈兩個截麵皆為凹麵）：
所以，球滾動體與外圈之間（jiān）的曲率差函數為：
同理，球滾（gǔn）動體與內滾道之間的關係（內圈有一截麵為凸，有（yǒu）一截麵為凹）：
根據 Hertz 理論模型，曲率差（chà）函數是橢圓參數 a，b 的函數：
對於鋼材接觸（chù）體，其接（jiē）觸橢圓的長半軸a 和短半軸b 以及接觸體遠（yuǎn）控點相（xiàng）對趨近量分別為：
2.4 球軸承的微觀幾何關係
2.4.1 靜載（zǎi）荷作用下（xià）軸承內（nèi）部的變形（xíng）和位移
如（rú）圖 2-9 所示，根據幾何變形條件可得內外滾道（dào）溝曲（qǔ）率中心（xīn）的距離為（wéi）：
圖 2-9 球軸承曲率中心軌跡 圖 2-10 聯（lián）合作用載荷下內圈（quān）的位移
2.4.2 靜態各聯合載（zǎi）荷作用下的（de）軸承位移
靜態載荷作用下由於陀螺力矩和離心力的影響非常（cháng）小忽（hū）略不計，所（suǒ）以軸承變形位移（yí）不會很複雜。
如圖 2-11 所（suǒ）示（shì），軸向載荷與軸承變形位移的關係圖中可以看出，在軸承軸向載（zǎi）荷的作用下（xià），隨（suí）著載荷的增加（jiā）軸承的軸向位移逐漸增加，呈現正相關（guān）關係，而（ér）軸承的徑（jìng）向位（wèi）移和角位移（yí）有所減小。在圖 2-12 中，微弱的徑向載荷作（zuò）用下，軸承的各個方向的位移變形量基本沒有變，剛度也基本不變。
圖 2-11 軸向（xiàng）載荷與軸承變形（xíng）位移關係
圖 2-12 徑向載荷與軸承變形位移的關（guān）係
2.5、本（běn）章小結
本章分析了高（gāo）速電主軸的幾何結構（gòu）參數及其支撐軸承參數為後續電主軸的性能分析奠定了基礎。分析了以角接觸球軸（zhóu）承的宏觀（guān）幾何形狀模型（xíng），再利用軸承的（de）微觀（guān）幾何關係和微觀受力狀態，計算（suàn）出了軸承應用中的內部載荷及其關係。但是必須知道的（de）是，這些方法的適用範圍（wéi）仍然是低、中速運轉的角接觸球軸承。在靜載荷作用下的軸（zhóu）承，或者是（shì）轉（zhuǎn）速很低的軸（zhóu）承，所受到的慣性力、摩擦力和力矩等不會對球滾動體間的載荷分配產生明顯的影（yǐng）響，因而忽略部（bù）分微小影響因素來研（yán）究（jiū）靜載（zǎi）荷作用下的球軸（zhóu）承。雖然如此，這些計算還（hái）是很有（yǒu）必要的，本章得到的數值可以（yǐ）作為下一章節的高速（sù）運轉下的球軸承複雜的數值計算（suàn）提供初始參（cān）考值，為高速（sù）球軸承的動力學分（fèn）析奠定（dìng）了基礎。
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