基於剛體動（dòng）力學的五軸數控機床模擬係統研（yán）究
2016-8-1 來源：天（tiān）津職業技術師範大學（xué） 作者（zhě）：嶽剛
把操作者手工編寫或通過（guò）軟件自動編寫的工件加工程序，翻譯（yì）成運動控製卡可（kě）以識別的刀具路徑軌跡，是數控係統的主要工作之一。這個識別過程實際上（shàng）是將工（gōng）件加工程序（xù）中（zhōng）工件坐（zuò）標係中的刀具路徑軌跡經過一定的計算[20]，轉變成為機床（chuáng）坐標係中的刀具（jù）路徑軌跡。所以必須（xū）正確的對刀具路（lù）徑軌跡進行運動求解計算才能實現該過程。五軸數控機床通過在三個（gè）線性軸運動的基礎之上增加了兩個回轉軸的運動（dòng）[21]，其運動的複雜性也相應的增加，對於編程人（rén）員和（hé）機床操作（zuò）人員來講，增加了一定的難度。對五軸（zhóu）數控機床進行正確（què）的（de）運動求解，有利於深（shēn）入掌握（wò）它的運動規律，最大程度地發揮其（qí）在加工中高效（xiào）、高精等優勢。
從數學的角（jiǎo）度（dù）講（jiǎng），物體運動求解的本質就是三維（wéi）圖形的線性變換，其中包括基礎線性變換，諸如平移（yí）變換（huàn）、旋轉變換等。當前國內外相關行（háng）業的研發人員已開始對適合（hé）五軸數控（kòng）機床進行分析的通用算法的探究，不過目前針對五軸數控（kòng）機（jī）床的運動分析大多是在（zài）假定機床所有移動軸一（yī）一正交等限製條件下進行的[22]，並且（qiě）也沒有考慮機床本身的製造精度。所（suǒ）以（yǐ），綜合考慮多因子的（de）五軸數控機床運動分析理（lǐ）論（lùn）的探究是今後五軸數控機床運動學探究最主要的領域之（zhī）一。
本章在描述了運動分析時所必須借助的基礎線性代數原理，分別例舉了采用三種（zhǒng）非常普遍的構成形式的（de）五軸數控機床在一定的限製條件下（xià）的運動分析算法。因為機床的製造精度與安裝精度有一定限製，故對（duì）於五軸數控機床進行運動分析還需要結合機床自身具有的許多誤差，來修正這些誤（wù）差對工件切削精度的影響。
3.1 運（yùn）動分析
在三維空間中，任何物體的運動方式都可以概括（kuò）為（wéi）幾何體的平（píng）移、旋轉等許多基礎的線（xiàn）性變換[23]。從線性代（dài）數的角度（dù）講，這些變換全部可以看做幾何體（tǐ）的幾（jǐ）何（hé）變換，因此又把（bǎ）幾何體的線性變換稱（chēng）為幾何變換，上述（shù）的變換能夠通過線性（xìng）代數中（zhōng）的矩陣乘法來完成。
3.1.1 平移變換
幾何體在三維（wéi）空間從一個坐標點沿著任意直線運動到另（lìng）一個坐標點的過程叫做（zuò）平移（yí）變換[23]，在整個變換中不會使幾何體的外形和尺寸發生變化。對應的齊（qí）次方程為：
假定空（kōng）間幾何體的起始位置為（x，y，z），在（zài）整（zhěng）個運動過程中，幾何體（tǐ）沿（yán）著 X、Y、Z 三個（gè）方向（xiàng）各運動（dòng）了 u、v、w 個單位長度，運動結束後，新（xīn）的位置（zhì）為（X、Y、Z），那麽該幾（jǐ）何體的位置變換對應的方程為：
3.1.2 旋轉變換
所謂旋轉（zhuǎn）變換，就是讓某個物體繞著 X、Y、Z 三個軸中的一個（gè）軸旋轉一（yī）個角度。此時，可以利用（yòng）右手螺旋法則來判斷轉角的正負[24][36]。（1）圍繞 X 軸轉（zhuǎn）動，X 方向（xiàng）坐標不發生變（biàn）化（huà），隻有 Y、Z 兩個方向坐標發生變化。對應（yīng）的方程為：
（2）圍（wéi）繞（rào） Y 軸轉動，Y 方向坐標不發生變化，隻有 Z、X 兩個（gè）方向坐標發生變化。對應（yīng）的方程為（wéi）：
（3）圍繞 Z 軸轉動，Z 方向（xiàng）坐（zuò）標（biāo）不發生變化，隻有 X、Y 兩個方（fāng）向坐標發生變化。對應的方程為：
3.1.2.1 圍繞過（0,0）點的任意直線的旋轉變換
直線 OD 是給定三維坐標係中過（0,0）點的任意直線，點 F 是坐標係中任一不在直線OD 上的點，若點 F 圍繞直線（xiàn） OD 轉動後與 G 點重合，那麽相應旋轉變換的計（jì）算方（fāng）法為[25]：
圖3-1 繞過坐標原（yuán）點直線的旋轉
（1）令直線 OD圍繞 X 軸轉動轉角後與麵 XOZ 重合，新的直線成為 OE。這個變換能夠用式 3-3 來完（wán）成。
（2）令直線 OE 圍繞 Y 軸轉動轉角 θ 後與 z軸重合，這個變換能夠用式 3-4 來（lái）完成。
（3）使用式（shì） 3-5 令點 P 圍繞 Z 軸轉動轉角 α。
（4）運算和（2）中互逆，也就是令直線 OE 圍繞 Y 軸旋轉轉角-θ，即（jí）使用式 3-4 的互逆矩陣來完（wán）成。
（5）運算和（1）中（zhōng）互逆，即使用式 3-3 的互逆矩陣來完成。最後能夠獲得圍繞過（0,0）點的任（rèn）意直（zhí）線 OD 的旋轉（zhuǎn）矩陣1 1R x y z y xT T T T T T= 。
3.1.2.2 圍繞過其他已（yǐ）知點的任一直線的旋轉變（biàn）換
L 是三維空間（jiān）中過點的任一直線，它的方向向量是，那麽空間幾（jǐ）何體圍繞直線 L 轉動轉角的相應轉換能夠分為如下三步：
圖 3-2 繞（rào）過任意點（diǎn） P 直線的旋轉（zhuǎn）變換
（1）通過空間幾何體與直線 L 共（gòng）同進行平（píng）移令點 P 移動到（0,0）點位置，轉換矩陣pT為：
（2）在前一個步驟完成之後，令空間幾何體圍繞 L 轉動轉角α ，對應轉換矩（jǔ）陣是（shì）RT 。
（3）令空間幾何體與 L 共同進行平移變換回到最初坐標，對應轉換矩陣是1PT：
最後，能夠獲得總的轉換（huàn）矩陣：
3.2 常見（jiàn）五軸數控機床的（de）構造模式
從三維幾何的角度講，每一個物體（tǐ）都（dōu）擁有（yǒu）六個獨立的（de）自由度[27]。舉個例子，對於一個工件來說，工件的位置是固定的，所以，對於（yú）工件來說（shuō），主軸就具備了六個獨（dú）立的自由度。在加（jiā）工（gōng）過程中，主軸上的刀具對工件進行切削，這時刀具軸線也就是主軸軸線（xiàn）和工件之（zhī）間（jiān）的距離受到刀具半徑的限製，因而實際上隻有五（wǔ）個自由度可用，理（lǐ）論上講實現五軸聯動就可以完成所有空間複（fù）雜（zá）曲麵的加工[28]。
五軸數控機床（chuáng）通常指擁有五個以上可聯動軸（zhóu）的數控（kòng）機床[29]，依據不同的自由度組合方式也就是固定或變相固定哪（nǎ）一個的（de）自由度，理論（lùn）上能夠形成成四種不同的組合，依次為：X、Y、Z 三（sān）個軸方向上的自由度和繞任（rèn）意兩個軸回轉的自（zì）由度組合、任意兩個直線方（fāng）向自由度和三個回轉自由度組合、一個直線方向自由度和四（sì）個回轉自由度組合、五個回（huí）轉自由（yóu）度。但在實際使用過程中，需要考慮機床的綜合性能，特別是加工精度、係統壽命等關鍵要素，所以（yǐ），當前市場上常（cháng）見的五軸數控機床都普遍采用（yòng）第一種方式的自由度組合[30]。依據不同的回轉自由度，還能夠對五軸聯動數控機床進行（háng）細（xì）分，可以分為（wéi）三種，分別是：雙（shuāng）旋（xuán）轉主軸（zhóu）頭式、雙回轉（zhuǎn）工作台式、一回轉工作台（tái）加一旋轉主軸（zhóu）頭式[31]。
（1）雙旋轉主軸頭式
雙旋轉主軸頭式的五軸聯動數控機床示意圖（tú）如圖 3-1 所示。從圖（tú）中能夠發現，機床的（de）兩個回轉自由度全部布置在主軸上，使得刀具能夠前後左右（yòu）進行擺動，這樣理論上可以使刀具繞中心點轉動（dòng）到任意位姿[32]，對於此類機床，其（qí）工作台無需進行轉動，因此工作台的大小不（bú）受約束，允許設計者設計大型機床。這樣的布置形式的特點在於機床整體承載性能大大增強[33]，同時加（jiā）工空間也基本不受限製，其加工對象為（wéi）大型工件，所以大（dà）型龍門式五軸（zhóu）聯動數控（kòng）機床普遍的采用這種結構。此類機床兩個旋轉軸全部集中到了刀具的上（shàng）部，回（huí）轉軸部分結構緊（jǐn）湊，加工過程靈活；同時缺點也很明顯，因為主軸頭集成的擺動機構與（yǔ）傳動機構過於複（fù）雜，使得整個機床的剛度被大大（dà）降低（dī）。
（2）一回轉（zhuǎn）工作台加一旋轉主軸頭式
這（zhè）種類型的機（jī）床通過在機床的主軸頭上麵加一個回（huí）轉自由度，另外一個回轉自（zì）由度加在工作台上，主要通過加（jiā）載在主軸和工作台上的兩個方向的回（huí）轉自由度，這樣布置的好處就是兩個（gè）回轉軸的軸線方向都是固定不變的（de）[33]，其示（shì）意圖如圖3-2 所示。這種結（jié）構的五軸機床，因為兩（liǎng）個方向的（de）回轉運（yùn）動並未集中在一起，所以采用這類布置方式的五軸數（shù）控機床優點是結構簡單、整（zhěng）體剛（gāng）性好，缺點是靈活性不好。由於隻有一個回轉自由度在工作台上，導致整個機床的承載性能（néng）差，並且隻能承（chéng）擔的尺寸相對較小的加（jiā）工任務，通（tōng）常用來進行中等（děng）尺寸工件的（de）切削。
圖3 -1雙旋轉主軸頭（tóu）結構五（wǔ）軸（zhóu）機床 圖（tú）3 - 2一擺動頭（tóu）和一回轉台結構五軸機床
（3）雙回轉工作台式
這種類型的五軸聯動數控機床（圖3-3）是由工（gōng）作台承擔兩個回轉自由度的，因為主軸和工作台的（de）運動是相對的，所以不論旋轉自由度布置（zhì）在主軸上還是（shì）布置在工作台上，都能達到同樣的加（jiā）工效果從傳動鏈的先後順序（xù）能夠知道，采用這種布置方式的（de）機床的（de）兩個旋轉軸有一個是定軸另（lìng）一個是動軸（zhóu）。定軸就是指遠離（lí）工件的隻具備一個旋轉自由度的軸[34]，這個軸圍繞的軸線（xiàn）方向在加工過程中（zhōng）是不會改變（biàn）的；動軸是指跟著加工工件（jiàn）一同擺動的旋轉軸，其所圍繞的旋轉軸線方向跟著（zhe）一個定軸的運動而旋轉。采用這種（zhǒng）布（bù）置（zhì）方式的機床承載性能最（zuì）差，加（jiā）工（gōng）尺寸範圍最（zuì）小，整個係統剛性（xìng）處於中等水平，通常用於中（zhōng）小尺寸工件的切削加工[35]。
圖（tú）3-3雙回轉（zhuǎn）工作台結構五軸（zhóu）機床
綜上所述，無論五軸機床采用哪種（zhǒng）布（bù）置方式，都同樣（yàng）可以做到刀具對工（gōng）件的任（rèn）意角度切削。因為機床擁有兩個旋轉自由度，刀具可以在機床結構的限製下的任意空間角（jiǎo）度對工件進行（háng）切削。在相應運動控製算法的支持（chí）下，能夠確保在整個切削過程中，刀具按照最佳的位姿來加（jiā）工，而且可以防止機床發生運動幹涉[36]。所以，五（wǔ）軸聯動（dòng）數控機（jī）床具備三軸、四軸機床所不具備（bèi）的的優越的性能，能完成分任（rèn）務更多（duō），同時精（jīng）度會更高[37]。
重點研發五軸數控（kòng）機床（chuáng）模擬（nǐ）訓練機的意義在於：學習數控係統最好的方式是在實際機床上（shàng）進行（háng）練習，但是這樣需要大量的五軸數控機床（chuáng），這對（duì）於學校來說是不（bú）現實的[38]。五軸數控機（jī）床（chuáng）模擬訓練（liàn）機是國內首創能夠解決數控係統教（jiāo）學問題、數控編程人員學習問題的一個關鍵產品。
3.3 五軸數控機床的運動求解
3.3.1 雙轉台型（xíng）五軸數控機床的運動求解
雙回轉台型五軸數控機床按照（zhào）旋轉軸（zhóu）的不同，能夠具（jù）體（tǐ）分為 AB、BC、AC 三種[39]。因為這三種不（bú）同選擇方式的運動變換計算過程沒（méi）有太大差別，所以在這裏隻探討了最常見的 AC 型組合方（fāng）式的（de）運（yùn）動變（biàn）換計算過程[40]。
傳統三軸數控機床隻具備 X、Y、Z 三個直線方向的自由度[41]，所以沒有必要進行其他的分析、數學建模、運算，隻需要將程序中的有關路徑控製方麵的 G 代碼翻譯成 XY、Z 三個軸方向上的運（yùn）動（dòng）量，然後再進行聯合（hé）插補運動，最終就（jiù）能夠驅動三個（gè）運動軸（zhóu）切削工件。五軸（zhóu）數控機床除了擁有 X、Y、Z 三個軸之外還有另外兩個回轉（zhuǎn）軸[42]，使得刀具可以相對於工（gōng）件做直線移動和回轉運動，所以在刀路運動計算上，需要六個數據來表（biǎo）達某一瞬時的刀尖點位置及刀具軸線（xiàn）位姿：（X， y ， z ）表示加工刀尖點的位置，（ i ， j ， k ）表示（shì）加工（gōng）刀具軸線的位姿[43]。
在五軸機床中（zhōng），刀具在對工（gōng）件進行切削之（zhī）前，需要嚴格采用五軸機床上的結構形式對其整個運動、切削過程進行運動（dòng）學分析（xī），找出工件坐標係與機床坐標係的聯係，推算出其中的轉換（huàn）矩陣，充分利用這個轉換矩陣[44]，能夠精確的轉換某一瞬時的刀尖點（diǎn）位置及刀具軸線位姿為 X、Y、Z 三個軸的移（yí）動（dòng）和 A 、C 兩個（gè）旋轉軸的（de）轉動（dòng），這一點是保證（zhèng）數控程序能夠正確被編譯的基（jī）礎（chǔ）。本節會針對（duì）此（cǐ）推導過程做詳（xiáng）細討論[45]。
如圖 3-4 所示，記工（gōng）件（jiàn）原點坐標係為m m m0X Y Z ，機（jī）床原點坐標係為t t tO X Y Z ，以 A、C兩軸中心線交點作為機床坐標原點[46]。工件原點（diǎn）坐標係m m mO X Y Z 和機床原（yuán）點（diǎn）坐標（biāo）係t t tO X Y Z 共（gòng）享（xiǎng）同一個 Z 軸方向，m t0 O =d 。工作台的回轉（zhuǎn）能夠帶動（dòng）毛坯（pī）進行位姿變換，其（qí）中 A、C 兩軸的轉動範圍分別為 0°≤A≤90°、0°≤C≤3600°。
圖 3-4 坐標係 圖3 - 5雙轉台型五軸數控機床坐標係
為了方便以後的計算，需要定義一下計（jì）算過程中用到的坐標係：令零（líng）件坐標係為w w w wO X Y Z ，零件能夠在兩個回轉軸的運（yùn）動中完成圍繞 X 軸轉動轉（zhuǎn）角 A（ 0° ≤A ≤90° ），圍繞 Z 軸轉動轉角 C；機床的移動坐（zuò）標（biāo）係為r r r rO X Y Z 。同時，w rO O =d ，如圖 3-5 所示；當前刀具的刀心（xīn）點（diǎn）0C ，其在零件坐標係內的坐標假定（dìng）為（0 0 0, ,C C CX Y Z ）；當前刀具的軸線假定為α （單位矢（shǐ）量），其在零件坐標係內假定為( , ,)x y zα α α[48]。
在以上設（shè）定的基礎上（shàng），AC 型組合方（fāng）式的運動變（biàn）換計算過程具體如下：
（1）首先將刀具軸線α 移動到經（jīng）過零件坐標係的原點，之後令它圍繞（rào） Z 軸轉動到平麵（-Y）（+Z）內，最後把刀具軸線α 圍繞 X 軸轉動到和 Z 軸重合[49]。以上工作的出（chū）發點是要確保當 0zα ≥ 時，令刀具軸線 α 圍繞 X 軸轉動轉角處於 (90° 0°) 之間，也就是刀（dāo）具相對於（yú）零件圍繞 X 軸轉動轉角（jiǎo）處於(0° 90°) 之間。
（2）將刀具軸線α 的轉動轉化成刀具的旋（xuán）轉或移動：首先讓刀具圍繞 X 軸轉動某個角度 A,再將（jiāng）刀具圍繞五軸機床德（dé）爾（ěr） Z 軸（zhóu）轉動一定角度 C。所以能夠獲得 A 角的運算過程如下：
（3）零件坐標改變後，刀具的中（zhōng）心點0C 坐標值也會發生變化，則機床坐標係內的坐（zuò）標（biāo）值 X、Y、Z 的（de）運算方法為：
1）對零件工件坐標係w w w wO X Y Z 進行移動，使得兩個坐標係的rO 和wO 重合（hé），相應的轉換矩陣是：
2）使零（líng）件圍繞五軸數控機（jī）床的 Z 軸轉動角度 C，對應（yīng）的轉換矩陣是：
3）使零（líng）件圍繞五軸數控機床（chuáng）的 X 軸轉（zhuǎn）動（dòng）一個角度 A，相應轉換矩陣是：
則有：
將上式展開可得：
3.3.2 雙（shuāng）擺頭型五軸數控機床的運動求解
雙（shuāng）擺頭（tóu）型五軸數控機床根據（jù）不同的旋轉軸，可以細分為三種方式[50]。因為（wéi）這（zhè）三種不同選擇方式的運動變換計算過程沒有（yǒu）太大（dà）差別，所以在這裏隻探討了最常見的 X，Y，Z，A，C 組合方式的運動變換計算過程[51]。
首先，初定零件坐標係為w w w wO X Y Z ，假定讓刀具繞 Z 軸旋轉一定角度 C，再讓刀（dāo）具圍繞 X 軸旋（xuán）轉（zhuǎn）一定角度 A(0 ≤A ≤90)；假定刀具的轉動中心0hC 至刀心點0C 的空間上的（de）直（zhí）線距離是 L，如圖 3-6 所示。此時，刀心點0C 處在零件坐標係內的位置為0 0 0(, , )C C CX Y Z ，同時，刀具軸線α （單位矢量）在零件坐標係內可用( , , )x y zα α α 來（lái）表示。那麽（me），機床坐標係（xì）內移動變換可以表示為：
圖 3-6 雙擺頭型五軸數控機床坐（zuò）標係（xì）
A、C 角的計（jì）算過程和前一節裏的計算（suàn）過程並無差別（bié），在（zài）這裏就（jiù）省略了。
刀具中心（xīn）0hC 在刀具旋轉和移動（dòng）後位於零件坐標係（xì）w w w wO X Y Z 內的坐標，就是機床坐（zuò）標（biāo）係下（xià） X，Y，Z 坐標值，其計算過程為：
（1）如圖所示，刀具中心以刀心（xīn）點0hC 為固定點轉動轉角（jiǎo）0C ，圍繞 X 軸轉動轉（zhuǎn）角 A，它（tā）的轉換矩陣是：
（2）刀具中心以刀心點0hC 為固定點轉動轉角0C ，圍繞 Y 軸旋轉轉角 C，它的轉換矩陣是：
（3）經過以上轉換之後，刀具中（zhōng）心（xīn）位於零件坐標內（nèi）的位置能夠通過（guò）下麵的方程來計算：
將上式展開得：
3.3.3 非正交五軸數控（kòng）機床（chuáng）的運動求解
這種運動方（fāng）式的求解與以上（shàng）兩類運動變換相似，計算過程並沒有很大的差別，非正交結構五軸數（shù）控機床的運動可以具體劃分為幾下三（sān）步（bù）進行變換計算[52]：
（1）計算從零件（jiàn）坐標係轉換（huàn）至（zhì）機床坐標係（xì）的位置轉換矩陣。
（2）計算相對於起始（shǐ）點的兩個轉動軸的轉角。
（3）把零（líng）件坐標係內具體的刀位點位置變換成實際機床坐標係中的坐標值[53]。因為（wéi）本文具體討論的是雙轉台正交構造的五軸數（shù）控機床，並且非正交構造五軸數控機床的移動（dòng）變換計算過程相對繁瑣，所以（yǐ）本文不討（tǎo）論。
3.4 本章小結
伴隨著電子計算機科技、數（shù）字控製算法（fǎ）的飛速進步，切削加工工件複雜程度的增（zēng）加等，五軸數控機床在構造構成以及數字控製算法上均（jun1）表現出多樣化的發展態勢[54]。本章（zhāng）首先闡述了平移、旋轉等對機床進行（háng）運動（dòng）求解時必需的一些基本數學理論。接著從結構形加工性（xìng）能等角度，對雙轉台（tái）型、雙擺頭型、擺頭轉台型以及（jí）非正交型五軸數控機床進行了詳細的介紹（shào），並詳細了研究了上述幾種常（cháng）見類型機床的運動求解算法（fǎ）[55]。本章在描述（shù）了運動分析時所（suǒ）必須借助（zhù）的（de）基礎（chǔ）線性代數（shù）原理，分別（bié）例舉了采用三（sān）種非常普遍的構成形式的（de）五軸數控機床在一定的限製條（tiáo）件下的運動分析算（suàn）法[56]。同時，為下一章的進一步研究做了鋪墊，為模擬機訓練係統操作模塊研究奠定了基礎。
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