0 前言

     五軸數控加工技術（shù）近年來被廣泛的應用於民（mín）用工業（yè）和（hé）軍事工業產品的加工。由於同傳統三軸加工相比增加了（le）兩個附加的自由度，五軸加工能夠獲得更高的生產效率和更好（hǎo）的加工質量，因（yīn）此成為（wéi）了（le）數控領域研究的重（chóng）點。

     五軸（zhóu）加工中的刀具路徑規劃問題一直是能否實現高效的自由曲麵加工的關鍵（jiàn）。目前（qián），在實際生產中應用較多的刀具路徑規劃方法（fǎ）還是比較基本的（de）等參數線加工方法和等截麵線加工（gōng）方法[1]，由於上述方（fāng）法均為按事先給定的方（fāng）向確定加工路徑，加工表麵殘餘高度誤差的（de）分布不均勻，為保證最大殘餘高度誤差而使走刀行距過於保守，加工效率偏低。因此提（tí）高加工效率，充分發揮五軸數控加工設（shè）備的性能是亟待解決的問題[2]。

    為了產生高效合理的（de）刀具（jù）路徑，國內外學者提出了多種（zhǒng）不同的方法，並（bìng）且（qiě）在應用中取得了一定的（de）成效。國外學者如RAO 等提出Principal axis 方法， PI 等提出Grind-free 方（fāng）法，LIN 等發展出誤差自適（shì）應生成算法；周豔紅、周雲飛、高軍和楊勇（yǒng）生等國內學者也在這個方麵進行了深入和（hé）細致的研究，提出了不（bú）同的（de）五（wǔ）軸刀具（jù）軌跡生成算法並（bìng）得到了實際應（yīng）用。大部（bù）分（fèn）現有（yǒu）的方法采用類似的處理過程，從曲麵的一條邊界作為初始（shǐ）路徑，通過一定的算法（fǎ）得到偏（piān）置（zhì）的後續路徑。本文采用了一種新的方法（fǎ），通過計算（suàn）曲麵各（gè）處的有效加工域的寬度和最（zuì）優域加工方向，搜索得到曲麵上（shàng）一（yī）條優化的初始化（huà）路徑，並（bìng）且構建了一種迭代算法生成相鄰的刀具路徑。最終生（shēng）成的(近似)最優路徑具有最大的切削（xuē）寬度和最短的（de）刀具路徑（jìng）總長度。

1 有效加工域（yù）參數（shù）計算

     數控加（jiā）工成形（xíng）過程就是刀具沿著預定的（de）刀具路（lù）徑對工件毛坯進行切削加工，最終形成工件外形的過程。切削過程中（zhōng）刀具通過掃掠在被加工（gōng）表麵形成了一個加工區域，此加工（gōng）的部（bù）分區域與理想加工麵（miàn）的（de）誤差（chà）小於或等於預定的加工精度要求，而其餘部分區域則（zé）不符合加工（gōng）精度要求。本文將（jiāng）符合（hé）加工精度要求的那部分加工區域定義為有效加工域（yù）。可見，要將工件表麵加工成形，必須滿足有效加工域完全覆蓋被加（jiā）工（gōng）麵這一要求。

     有效（xiào）加工域的兩個最（zuì）重要的特征參數是域寬度和域切削方（fāng）向。域（yù）寬度（dù）表征（zhēng）有效加工域（yù）覆蓋（gài）區域（yù）的大小，域切削方向表征了產生的刀具路徑的流（liú）向，直接影（yǐng）響域（yù）寬度值（zhí）。兩者都會對最終產生的刀具路徑質量產生（shēng）重大的影響，因此是本文描述的重點。有效（xiào）加工域參數計算的目標就（jiù）是得（dé）到具（jù）有最大域（yù）寬（kuān）度的刀（dāo）具路徑及其流向。有效加工域（yù）的形成涉及到加工表麵與加工刀具的相互作（zuò）用，對其研（yán）究必然牽涉到對（duì）被加工表麵的幾何特征和刀具的幾何特征的描述（shù）問題。對於工件被加工麵的描述已經有了統一的（de）數學表達，因此主要（yào）討（tǎo）論刀具的幾何描述問（wèn）題。

     1.1 刀具（jù）的統一參數表達

    為了使得分析過程不局限於（yú）某種特殊形狀的刀具，需要尋（xún）求一種刀具（jù）的通（tōng）用（yòng）表達形（xíng）式，使其可以（yǐ）用於各種加工刀具。由於NC 加工中刀具的旋（xuán）轉速度相對進給（gěi）速度來說要快的多，所以可以（yǐ）用一係列相連的直（zhí）線或曲線的（de）回轉麵來表示刀具的幾何形狀，所以本文采用了如圖1 所示的通用（yòng）刀具（jù）統一參 數表達[3]。

     部分（fèn）、中間的圓環（huán）部分和下麵的圓錐部（bù）分。其中參數r 表示刀具的名義半徑，h 表示倒角圓的圓心到刀尖的垂直距離，L 表示刀具的軸向長度，e 表示倒角圓的圓心到刀軸（zhóu）的徑（jìng）向（xiàng）距離。其他的四個角度參數α，β，θ，φ分別如圖1 標示。改變各變量的取值便可以得到各常用刀具模型。如圓環銑刀可（kě）以表示為（wéi）一種α =β = 0，e = r – r1 的通用刀具。由刀具的統一參數表達可以建立了刀具的幾何描述矩陣Mt [3]，本文不再（zài）贅述。

     1.2 有效加工域寬度和域切削方向

    有效加工域寬度（dù）是影（yǐng）響生成的刀（dāo）具路徑質量最重要的因素。其（qí）值大小與刀具在工件表麵切削時的姿態有關。為（wéi）方便描述刀具在加工麵上的（de）運（yùn）動姿態，在（zài）刀具與工件表（biǎo）麵的接（jiē）觸點A 處引入一個局部坐標係(Oxl yl zl )，如圖2 所示。

      圖 2 中點B 為刀（dāo）具中（zhōng）心位置點，xl 軸的方向為A 處的瞬時切削方向，zl 軸的方向為A 的曲麵外法線方向，yl 軸的方向由xl 軸和zl 軸通過右手螺旋法則確定。λ定義（yì）為刀具繞yl 軸的傾角，ω 定義為刀具繞zl 軸（zhóu）的（de）擺轉角[4]。kmax 表示被加工麵A 處最大主（zhǔ）曲率方向單位矢量，kmin 表示A 處的最小主曲率方向單位矢量。

     在加工中，每個時刻刀具掃描體外形與被加工麵的相互作（zuò）用生成了此刻的刀具有效掃描體（tǐ）外形，從而最終決定了切削產生的幾何形（xíng）貌。瞬時（shí）的刀具有效（xiào）掃描體外形上的任（rèn）意一點P 必須滿足條件（jiàn）：P點處刀具掃描體外形曲麵外法（fǎ）線矢量必須與的此時的（de）刀具運動向量相垂直。當刀具有效掃描體外形確（què）定後，通（tōng）過計算刀具有效掃（sǎo）描體外形上（shàng）的點與工件表麵的距離，就可以確定有效加工域的寬度b。設刀具有（yǒu）效掃描體外形上的（de）存在兩個（gè）位置點P1、P2，這兩點與被加工（gōng）曲麵的距離等於預定的加工公差要求τ，則有效加工域寬度的定義如（rú）下

     即有效加工域寬度可以表（biǎo）示如下：刀具有效掃描體外形（xíng）上與被加工曲麵的距離等於（yú）τ的兩點，此（cǐ）兩（liǎng）者之（zhī）間的距離在垂直於切削方向(矢量Yl方向)上的投影長度。

     為（wéi）了得到最大（dà）的域寬度值，加工時應當讓刀具調整姿態在無幹涉的條件下盡可能的匹配被加工表麵的幾何形貌（mào）。因此域寬b 是一個關於刀具幾何描述Mlt (s)和公差τ的（de）函（hán）數。同時還應注意到，在曲麵的某處，不同的切削方向（xiàng）得（dé）到的有效加工域寬度是不同的。如圖3 所示，在被（bèi）加工曲麵（miàn）的某（mǒu）處P，刀具沿著（zhe）θa 方向切削（xuē）時相（xiàng）對應的有效域寬度（dù）為ba，沿著θb 方向切削時對應的有效域寬度為bb，此時兩者刀具的空間姿態Mlt (s)和預定的公差（chà）τ都相同，但得到的有效域寬度（dù）不同。

     現在引入一個新的局部坐標係( Ox y z κ κ κ ) ，xκ軸（zhóu）的方向為A處（chù）的曲麵最大主曲率方向( max κ 方向)， yκ 軸的方向為曲麵最小主曲率（lǜ）方向( min κ 方向)，zκ軸的方向為P 點處的外法線方向。定義瞬時切削方向和xκ 軸的夾角為切削方向角θ。綜上所述，b 也是關於切削方向角θ的函數。即（jí）b =W(Mlt (s), θ , τ ) =W(Mt (s), λ , ω, θ , τ ) (4)通常，當切削方向與最小主曲率（lǜ）方向相同（tóng）或非常接近時，可以取到最（zuì）大的有效域寬度[5-6]。

    為減少計（jì）算量，本方法以一定間隔均勻分布的曲麵參數（shù）u，v 采樣（yàng）該處的優化有效域寬度和切削方向角，得到一個離散的優化域寬度和（hé）切削方向角的曲麵分布。對於未采樣的曲麵區域，可（kě）以通（tōng）過相鄰的四個（gè）采樣（yàng）點（diǎn）的數值插值計（jì）算出未采樣點的域寬度和方向角數值。從這個（gè）意思上說，有效加工域規劃方法（fǎ）是一種近似最優的刀具路（lù）徑（jìng）生（shēng）成算（suàn）法。

2 刀具路徑（jìng）的搜索迭代生成

     傳統（tǒng）的刀具路徑生成算法一般都（dōu）從（cóng）曲麵的（de）某一條邊界（jiè）開始計算生成刀具路徑。這種方法雖然方便了計算過程，但不能保證由此邊界產生的刀具路徑即是最（zuì）優的。有效加工域（yù）規劃法采用搜索算法得到整個曲麵上一條最優的初始（shǐ）刀具路徑，通常情況下這條（tiáo）初始路徑不是曲麵的邊（biān）界；然後通過迭代算法生成（chéng）其餘的偏置路徑，最終使得生成的路徑完全覆蓋整個曲麵。

     2.1 最優初始路徑的搜索確定（dìng）

    通過上（shàng）麵（miàn）所述的方法我們得到了被加工曲麵上均勻分布的有（yǒu）效（xiào）加工域，以及每個加工域的（de）域寬度和切削方（fāng）向角的集合。成為初始刀具路徑的要求是此路徑通過（guò）的有效加工域（yù）應該（gāi）具有最大的平均有效（xiào）域寬（kuān）度。搜索曲麵四個邊界上的有效加工域，參（cān）考每個有效加工域的切削方向角確定下一（yī）個有效（xiào）加工域，連接這兩個有效加工域作（zuò）為刀具路徑的一部分，重複此過程直到遇到處於曲麵邊（biān）界上的（de）有效加工域停止。這樣便生成（chéng）了一係列的（de）刀具路（lù）徑，因為每條路徑都是沿著各個離（lí）散加工域的（de）最（zuì）佳（jiā）切削方向生成的，因（yīn）此這些路徑上的每一（yī）個有效（xiào）加工域都取到了本域（yù）的最大域寬度。這（zhè）些路徑稱為候選初始路徑。然後從這一係列候選初（chū）始路徑中選出具有最大平均域寬度的一條（tiáo）路徑做為初始（shǐ）路徑。設有N 個離散的有效加工（gōng）域位於某段候選初始路徑（jìng）上，此路徑的平均域寬度bav 定（dìng）義為

     式中bi —— 編（biān）號 i 的路徑的最大域寬度值計算出每條候選路徑的平均域寬度值 bav，取bav 最大值的路徑作為初始路徑。

     2.2 後續刀具路徑的迭代生成

     確定了最佳初（chū）始路徑後（hòu），便可以通過迭代算法生成相鄰的（de）路（lù）徑。迭代算（suàn）法通過一條（tiáo）已知的刀具路徑生成相鄰的（de）一條路徑（jìng），然後利用剛生成的路徑重複算法過程（chéng）產生下一條路（lù）徑，如（rú）此（cǐ）往複循環直到（dào）所有的有效加工域都被路徑覆蓋。下麵具體介紹迭代算法的具體實現。

     引入一個新的參數 f，f 表示當前路徑的（de）實際平均（jun1）域寬度與初始路徑（jìng）的平均域寬度bav_max 的比值，稱為刀具（jù）路徑的質量係數，即

     式（shì）(7)說明要取的路徑TPi+1 上的對應點Pi+1, j 與當前Pi, j 的連線方向與有效域寬度的方向相同，即在yl軸（zhóu）方向（xiàng）上。設加工曲麵的參數表達為S(u,v)，計（jì）算保證最大（dà）域（yù）寬（kuān）度條件下的Pi+1, j 坐（zuò）標必須滿（mǎn）足

     在實際加工時，刀具的（de）空間姿態和被（bèi）加工曲麵的幾何特性在每個不同（tóng）的（de）A 處都不同，因此（cǐ）具有不同的有效加工域寬度和（hé）切削方向角。這意味著兩條相（xiàng）鄰的刀具路（lù）徑通常不會是相互平行的[7]。為了防止生成（chéng）的相鄰的刀具（jù）路徑間存在沒有被刀具路徑覆蓋的間隙，還需對刀具路徑進行校（xiào）驗和調整，使（shǐ）之滿足下麵兩個要求。
 

     (1) 相鄰兩（liǎng）條刀具路（lù）徑的邊界線沒有交點。

     (2) 相鄰兩（liǎng）條刀具路徑至少在曲麵某一處重合。

     條（tiáo）件(1)保證了（le）兩條相鄰路徑的邊界或者（zhě）是每處（chù）都互相有一部分重（chóng）疊，或者是沒有任何一處重疊。條件(2)保（bǎo）證了兩條（tiáo）相鄰路徑必定有（yǒu）一處重合，即排除了條件一中完全不重（chóng）疊的情況。這就保（bǎo）證了相鄰的刀具路徑都相（xiàng）互重疊一部分，路徑間不存在間隙。通過上述方法，以（yǐ）路徑TPi 為（wéi）基礎生成路徑TPi+1，然後以路徑TPi+1 為（wéi）基礎生成路徑TPi+2，整個刀具路徑生（shēng）成的過程就是（shì）上述方法的迭代過程。

     隨著迭代過（guò）程的進行，通常情（qíng）況下所（suǒ）生成刀具路徑的質量係（xì）數將逐（zhú）漸減小，為了保證得（dé）到高效（xiào）的刀具路徑，必須對產生的刀具路徑的質量係數進行一定的限製，否則迭代的後期（qī）可能產生大量（liàng）的質量不佳的刀具路徑。本文（wén）采取的方法是預先設定質量（liàng）係數（shù）的下限fmin，當檢測到當前生成的刀具路徑的質量係數低於fmin 時（shí），則停止本次迭代過程。然後在未加工區域中重（chóng）複上（shàng）述的搜索迭代算法，得（dé）到新的初始路徑，以初始路徑為基礎進行（háng）新的一輪迭代運算。如此往複，直到被加工表麵上的（de）所有有效加工域都被刀具路（lù）徑覆蓋時（shí）結（jié）束算法運行（háng）。

3 算法的實現及應用示例

     3.1 算法實現流程

     在微機上以上（shàng）述算法為基礎，采用Matlab 和Visual C++環（huán）境編寫程序實現算法過程。算法程序流程如圖4 所示。

     程序以已知的被（bèi）加工曲（qǔ）麵作為輸入，以最終（zhōng）的優化刀具路徑集作為輸出，並（bìng）且可以（yǐ）根據用戶需要改變刀具路徑質量係數的下限值以及有效加工域在曲麵上的分布密度。

     3.2 應用示例

     選取熱壓塑模具曲麵的一部分作為示例被（bèi）加工麵，在xyz'a'c 型（xíng）的五軸數控機床環境下采（cǎi）用環形刀具進行切削加工。刀具的名義半（bàn）徑r = 8 mm，圓環角圓半徑r1 =1.5 mm。刀具的兩個錐（zhuī）度角α = β = 0o，加工預定公差（chà）τ= 0.05 mm。為了方便比較，將刀（dāo）具傾角λ和ω 設置為固定值（zhí），λ= 10o，ω=3o，刀具路徑最小質量係數設為fmin = 0.75。

采用傳統的等參數線法和本文提（tí）出（chū）的有效加工（gōng）域規（guī）劃法分別生成相應的刀具路徑，下（xià）表是兩（liǎng）種方法的結果對比。

     采用上述兩種方法生成的刀具路徑在VERICUT 下（xià）進行曲麵（miàn）誤差分布模型數據分析，圖（tú）5顯示了兩種刀具路徑誤差（chà）分布比較。

     上述對比結果可以看出，有效加工域（yù）規劃方法生成（chéng）的（de）刀具路徑數目和總長度都減少了，尤其是路徑總長度減少了35.5%，與等（děng）參數線法相比較，采用有效加工域規劃法可以得到更短的刀具路徑總長度以及加工質量更高的加工表麵。不足的是（shì）快速（sù）移動路徑的長度反而加大了，作（zuò）者認（rèn）為（wéi）這是由於等參數線（xiàn）法采用之字型走刀方式，因此刀具快速移動的距離比較短，而有（yǒu）效加工域規劃法沒有對（duì）路徑的進退刀點進行優化（huà），這一不足也是今後對本方法進一步完善的重要方向（xiàng）。

4 結論

     (1) 提出了一種新的五軸（zhóu）數控加工刀具路徑生成方法——有效加工域（yù）規劃法。這（zhè）種方法根據刀具的幾何特征和（hé）空間姿態結合（hé）曲麵的幾何特性，構造曲麵上的有效（xiào）加工域（yù）集合，計算得到(近似)最優的域寬度和切削方向角參數。同時構造了一（yī）種搜索迭代算（suàn）法，用於得到初始路徑和相鄰的後續路徑。

     (2) 應用示例顯示有效加工域規劃法相對於（yú）傳統的五軸刀具（jù）路徑生成算法具有較明顯（xiǎn）的優勢，同樣的加工條件下可以（yǐ）得到總長度更短的刀具路徑（jìng）和更短的加工時間（jiān），並且能得到更高的加工精度。

     (3) 應用（yòng）過程中也發現（xiàn）了本（běn）方法的（de）一些不足，如刀具路徑質量係數的選擇依靠主觀判斷，不參與切（qiē）削的刀具路徑(如快速（sù）移動（dòng）路徑)沒有得到足夠的優化等，需要進一步的改進完善。