１　單對齒輪的齧合剛度（dù）模（mó）型

      本文主（zhǔ）要（yào）考（kǎo）慮在輸入轉速和負載扭（niǔ）矩不變的條件下，輸出齒輪轉角的變化情況。齧合剛度模型是一個最基（jī）本的齒輪副分析模型，隻考慮了齒輪副本身的影響因素，忽略了傳動軸的彎曲變形、扭轉變形和軸承的支撐剛度等。齒輪的（de）齧合剛度分析模型如圖１所（suǒ）示。

      其中，θｐ、θｇ分別為驅動齒輪、從動齒輪的扭（niǔ）轉位（wèi）移；

      Ｒｐ、Ｒｇ分別為驅動齒輪（lún）、從（cóng）動齒輪的基圓半徑；Ｔｇ、Ｔｐ分別為負載轉矩和輸入轉矩；Ｊｐ、Ｊｇ分別為（wéi）驅動齒輪、從動齒輪的轉（zhuǎn）動慣（guàn）量；ｋｍ為輪齒的齧合綜合剛度；ｃｍ為輪齒的齧合（hé）阻尼。

      齒輪齧合剛度模型的建模條件是：驅動輪ｐ勻速（sù）轉動，負載扭矩Ｔｇ為（wéi）恒定負載。假設在齧合線方向上齒輪的相對（duì）位移為ｘ，則（zé）ｘ＝Ｒｐθｐ－Ｒｇθｇ。由於齒輪間的齧合力Ｆｋｍ＝ｃｍｘ　·＋ｋｍｘ，則Ｆｋｍ為：

      齒輪副的動力學方程為：

      ２　傳動鏈齧合剛度動（dòng）力學模型

      ２．１　直齒輪係統齧合剛度動力學（xué）模（mó）型［１］

      在（zài）單對齒輪副齧合剛度分析（xī）模型的基礎之上（shàng），考慮了傳動軸的扭轉剛度之後（hòu）就形成了直齒輪子係統的動力學模型，如圖２所示（shì）。其中，Ｊ１２、Ｊ１３、Ｊ３３、Ｊ４２分別（bié）為各直齒輪的轉動慣（guàn）量；θ１２、θ１３、θ３３、θ４２分別為各直（zhí）齒輪的旋轉角；Ｔ１２為輸入（rù）端（duān）的驅動扭矩；Ｔ４２為（wéi）輸出端的負載扭矩；ｃｎ為（wéi）齒輪副的齧合阻尼；ｋｎ為齒輪副的齧（niè）合剛度；ｋⅢ為Ⅲ軸的扭轉剛度。

      直齒輪係統分析模型的前提條件是：輸入齒輪為（wéi）勻（yún）速旋（xuán）轉運動，輸（shū）出負載扭矩（jǔ）為恒定（dìng）負載。結合式（２）和（hé）牛頓力學理論，可以得到如下的微分方程組：

      其中：Ｒ１２、Ｒ１３、Ｒ３３、Ｒ４２分別為各直齒輪的基圓半徑。

      根據Ｌａｐｌａｃｅ變換對式（３）進行處理，得到關於變量ｓ的多元一次方程組，代（dài）入設計數據（數據保密（mì）），得出直齒輪子係統動（dòng）力學模型的轉角傳遞函數Ｇ４２為：

      其中：θ１２、θ４２分別（bié）是θ１２、θ４２的Ｌａｐｌａｃｅ變（biàn）換。

      其中：ＲＳ、ＲＮ分別（bié）為太陽（yáng）輪和行星輪的（de）基圓半徑。

      （２）內齒圈與（yǔ）行（háng）星輪在齧合線方向上的相對位移δＲＮ為：

       ２．２．２　齒輪齧合力的計算

      （１）內齒圈與行星（xīng）輪（lún）的齧合力ＦＲＮ為：

      將式（４）～式（８）代入到式（９）、式（１０）中，並轉化成方程組的形式為：

      式（１１）中的變量為：ＴＣ，θＳ，θ１，θ２，θ３。由於θ１＝θ２＝θ３，故用θＮ來替代，使之滿足θＮ＝θ１＝θ２＝θ３。將
 

      式（１１）進行Ｌａｐｌａｃｅ變換，代入設計數（shù）據（數據保密）求得（dé）轉角傳遞函數（shù）ＧＣＳ：

      其中：θＣ、θＳ分別為θＣ、θＳ的Ｌａｐｌａｃｅ變換形式。

     ３　傳動鏈動力學總模型

      將前麵的直齒輪係統和行星差速器係統的動力學模型進行綜（zōng）合，用轉（zhuǎn）角傳遞函數（shù）來表示最終的動力學模型。由（yóu）於這（zhè）兩個子係統是串聯關係，因此總傳動鏈（liàn）模型的轉角傳遞函數為：

      運用ＭＡＴＬＡＢ軟件對轉角傳遞函數（shù）進行單位斜坡響應分析，得到的曲線如圖４、圖５所示。

      ４　結論

      由圖４、圖５可得出如下結論：①在（zài）齧合剛度影響下的傳動鏈轉角的輸出曲線與輸（shū）入曲線之間（jiān）存在著（zhe）轉角誤差，這會影響（xiǎng）該機床傳動鏈的傳（chuán）動精度和傳遞的準確性；②轉角誤差響應曲線經過一定（dìng）的震蕩後期後，穩定（dìng）為一條（tiáo）水平的直（zhí）線，這表明齧合剛度影響下的傳動鏈轉角誤差是一個不隨時（shí）間變化的恒定；③齒輪的（de）理論轉角相應曲線的斜率與齧合剛度模型下的轉角響（xiǎng）應曲線斜率基本相同，說（shuō）明齧合剛度對傳動鏈的傳動比基本沒有影響。