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多軸數控係統在曲（qǔ）麵加工（gōng）中的（de）應用

2023-8-15 來源：廣西（xī）玉林農業（yè）學校作者：譚偉美劉燕萍淩海全

摘要：該文在齊次坐標（biāo）的形式下，推導了（le）平移矩陣和旋轉矩陣，對多軸聯動係統任意關節（jiē）處（chù）的位置（zhì）和姿態變化進行數（shù）學建模。基於比（bǐ）較（jiào）器組件（jiàn）、計數器組件和生成器（qì）組件構（gòu）建了反饋形式的 RTPA 算法，用於多軸聯動（dòng）數控係統加工過程中的實際（jì）控製，並對采樣頻率的影響（xiǎng）進行了分析。最後以曲麵（miàn）仿真加工為例進行試驗研究，試驗結果表明：在 RTPA 算法的控製（zhì）下，多軸聯動數控係統可以有效地完成（chéng）曲麵加（jiā）工。

關（guān）鍵詞 ：多軸聯動；數控（kòng）係統；曲（qǔ）麵（miàn）加工；RTPA 算法

製造業的集成化水平（píng）、自動化水平，已經成為衡量一個國家科技實力的重要標準（zhǔn）。我（wǒ）國是製造業大國，涵蓋了世界上絕大多數的機械加工門（mén）類 [1]，其中的數控技術（shù）和（hé）數控係統發揮（huī）了非常重要的作用。對各種複雜類型的機械加工（gōng）任務，隻有（yǒu）具備（bèi）更多軸數聯動的數控加工技術和方法，才能更高效率地將其（qí）完成 [2]。因此，多軸聯動數控係統的設計以及多軸聯動的數控加工方法已經成為（wéi）判斷機（jī）械加工製造行業競爭力的核心內容 [3]。目前，我國在 5 軸及 5 軸以上的聯動數控係統研製和數控加工方法方麵與世界先進水平存（cún）在一定差距，這也成（chéng）為製約我國機械加工（gōng）行業深（shēn）度發展的瓶頸問題（tí）。為此，該（gāi）文以 5 軸聯（lián）動的數控係統（tǒng）為研（yán）究對象，通過數學模型（xíng）分析和控製過程（chéng）研究，給出其在曲麵加工中（zhōng）的具體應用。

1、多軸（zhóu）數控係統位姿（zī）的數學模型

多軸聯動的數控係（xì）統，其（qí）控（kòng）製功能和加工（gōng）效果實現的關鍵在於位置和姿態的準確刻畫與合理動態連接。為此，該文先以齊次坐標的形（xíng）式對多軸（zhóu）聯動數控係統的位置和姿態進行數學建模。

多軸聯動數控加工係統一係列動作的完成，在三維空間中表現為各個關節、各個軸的旋轉運動和平移運動的累加效果。因此，要從數學（xué）角度刻畫多軸聯動數控係（xì）統，就依賴於（yú）對旋轉矩陣和平移矩陣的刻畫。

如果空間中任意一點 A，通過（guò）平移變換（huàn）變成 A' 點的位置，並且它在 x、y、z 這 3 個（gè）坐標軸上分別平移了 a、b、c個單位，那麽存在如公式（1）所示的平移關係。

如果空間中任意一（yī）點 A，通過旋轉變換變成 A' 點的位置，並且它繞 z 旋轉的角度為 θ，那麽存在如公式（2）所示的旋轉關係。

同理，還可分別得（dé）到任意一點繞 y 軸和繞 x 軸的旋轉矩陣，以及（jí）這 2 個（gè）矩陣的齊次（cì）表達。進一（yī）步推（tuī）廣這個做法，可以得到（dào）任意一點繞空（kōng）間任意軸線的旋轉矩陣，它（tā）也將體現為繞 x、y、z 軸做旋轉運動的組合（hé）形式。得到了空（kōng）間任意一點位置變（biàn）化的平移矩陣和旋轉矩陣，就可以建立這（zhè）一點（diǎn）位置變化的數學模型。這樣的思路同樣適用於空間任意一個坐標係和空間任（rèn）意一個物體。多軸聯動的（de）數控加工過程就是承擔加工任（rèn）務的操作端，進行多（duō）個（gè）平（píng）移（yí）運動和繞多個（gè）軸線做旋轉運動的組合（hé）效果。

假設多軸聯動係統的末端操作裝置的位置變換如圖 1所示。如圖 1 所示，多（duō）軸聯動係統的末端操作裝置一共進行了2 次變換，一次是分別沿 x 軸和 y 軸進行了 2 次（cì）平移運動，一次是繞 z 軸做了 90°的（de）旋轉。

圖 1 多軸聯動係統的（de）末端（duān）操作裝置的位置變換（huàn）

可見，有了（le）上麵的建（jiàn）模方法，就可以對多軸聯動係（xì）統任意關節、任意（yì）動作進行平移運動和旋轉運動的組合描述。

2、多（duō）軸數控係統的加工過程控製

能夠（gòu）通過數學模型對多軸聯動的數控係統進行描述以後（hòu），如何設定數控（kòng）程序，讓係統按照既定的路線完成加工任務，是（shì）整個數控過程的難點。該文為多軸聯（lián）動數控係統的加工（gōng）過程設計了一個具有較（jiào）好實時性的（de）脈衝控（kòng）製算法，簡稱（chēng） RTPA（Real time pulse algorithm）算法。

數控加工的過程一般是通過（guò）插補算法來實現（xiàn）和（hé）完成的，而（ér）數控加工中的每個軸的（de）控（kòng）製是根據步進（jìn）電機的脈衝來實現的（de），這就需要形成插補過程和脈衝生成時序之間的對應關係。但是，傳統的根據脈衝頻率進行插補過程（chéng）的設計的實時性並不理想。為此，該文從 V-F 變換算法（電壓 - 頻（pín）率）的角度出發，設計了一個新（xīn）的具有更（gèng）好實時（shí）性（xìng）的脈衝生成算法。通過這個算法所產生的脈衝序列（liè）可（kě）實現對多軸聯動數控係統更有效的控製。

這個算法使用了比較器組件、計數器組件和（hé）生成器組件共同產生具有較（jiào）好實時性的脈（mò）衝序列，其算法的原理框圖如圖 2 所示。

圖 2 多軸聯動係統 RTPA 控製算法的原理框圖

根據（jù）圖 2 可知，多軸聯動係統某一（yī）關節或（huò）末端（duān）裝置的位移經過采樣以後作為 RTPA 算法的輸入，采樣頻率是（shì） f。采樣位移值輸入（rù）以後，與反饋支路上根據脈衝計數器形成的脈衝當（dāng）量進行比（bǐ）較，二者比較之後的差異進入脈衝生成器作為脈衝序（xù）列產生的判（pàn）斷依據。脈衝生成器會形成（chéng） 2 個（gè）輸出，分別是正向脈衝和反向（xiàng）脈衝，這也分別對（duì）應於步進電機（jī）的正（zhèng）轉和反轉。

對脈衝生成（chéng）器產生正向（xiàng）脈衝還是反向脈衝的判斷，取決於輸入與反饋支路比較的累積誤差和設定域值（value）之間的比較，比較規則如下。規則一：如果輸入與反饋支路比較的累積誤差之（zhī）和大於設定域值，則脈衝生成器生（shēng）成正向脈衝並輸出。規則二：如（rú）果輸入與反饋支路比較的累積誤差（chà）之和小於設定域值的相反數，則脈衝生成器（qì）生成反向脈（mò）衝並（bìng）輸出（chū）。

決定該（gāi）文算法的關鍵（jiàn）參數還有位移作為輸入（rù）前的采（cǎi）樣頻率 f。為了判斷采樣頻率 f 對 RTPA 算法性（xìng）能的影響，該文分別（bié）設置采樣（yàng）頻率為 5 kHz 和 20 kHz，繪製其位移響應曲線和速度（dù）響應曲線，結果如（rú）圖 3 所示。

圖 3 采（cǎi）樣頻率對多軸聯動係統算法性能的（de）影響

圖（tú） 3（a）圖左側代表（biǎo）了采樣頻率為 5kHz 時 RTPA 算（suàn）法的位移響應曲線，右側代表了采樣頻率為（wéi） 20kHz 時 RTPA算（suàn）法的位移響應曲線；圖 3（b）圖左側代表了采樣頻率為（wéi）20kHz 時 RTPA 算法的速度響應曲線，右側代表了采樣頻率為 20kHz 時，RTPA 算法的速度響應曲線。

從圖 3（a）可以看出，采樣頻（pín）率越大，采樣周期越小，RTPA 算法的位移響應速度（dù）越快。從左、右圖的對比可以看出，采樣頻率（lǜ）為 5kHz 時，RTPA 算法的位移響應經（jīng）過 0.58s，多軸聯動係統的（de）實際位移（yí）才能和理想位移吻合；采樣頻率為 20kHz 時，RTPA 算（suàn）法的位移響（xiǎng）應經過 0.16s，多軸聯（lián）動係統的實際位移就和理想位移吻（wěn）合。這表明，采樣頻率（lǜ）為20kHz 時的位移響（xiǎng）應比采樣頻率為（wéi） 5kHz 時的位移響應足（zú）足快了 0.42s。

從圖 3（b）可以看出，采樣頻率越大，采樣周期越小，RTPA 算法的速度曲（qǔ）線響應越快。從左（zuǒ）、右圖的對比可以看出（chū），采樣頻率為 5 kHz 時，RTPA 算法（fǎ）的速度響應經過 0.5 s，多軸聯動係統的實際速度（dù）才能和理想速度吻合；采樣頻率為 20 kHz時，RTPA 算法的速度（dù）響（xiǎng）應經過 0.13 s，多軸（zhóu）聯（lián）動係統的實際（jì）速度就和理想速（sù）度吻合。這表明，采樣頻率為 20 kHz 時的速度響應比采樣頻率為 5 kHz 時的速度響應足足快了 0.37 s。

3、多軸數控係統的曲麵加工仿真試驗

在前麵的工作中，分別針對（duì）多軸聯動數控係統進行了位置姿態建模和 RTPA 控製算法設計，並通過關鍵參數的影響分析（xī）確定了多軸（zhóu）聯動數控係統的有效控製策略（luè）。接下來將進（jìn）行仿真試驗，以驗證（zhèng）該文所提出的多軸聯動係統的 RTPA 算（suàn）法控製性能。仿真試驗選擇曲麵加工作為多軸（zhóu）聯動數控係統的加工對象。曲（qǔ）麵在各種加工單元中具（jù）有一定的複雜（zá）性，並且對控製算法有比較精細的要求。而整個曲麵的加工完成是通過連（lián）續的曲線加工軌跡來（lái）完成的。該文要加工的曲麵（miàn）的仿（fǎng）真結果如（rú）圖 4 所示。

圖 4 該（gāi）文要加工的曲麵的仿真結果

從圖 4 可以看出，該文要加工的曲麵是在 x 方（fāng）向上形成軸向寬度、在 y 方向上形成徑向寬度的一段曲麵，曲麵的曲率半徑則（zé）位於 z 軸方（fāng）向。圖 4 中還給出了刀具的初始位置即起刀點，曲麵上的（de）平行曲線則表明在 RTPA 算法控製下的加工軌跡。

曲麵的數控加工方法有很多種，例如基於軌跡生成參數的加（jiā）工路線法、基於 CC 路（lù）徑的截（jié）麵數據加工路（lù）線法以及基於（yú）路（lù）徑的截麵（miàn）加（jiā）工路線法等（děng）。該文（wén）選擇了基於 CC 路徑的截麵數據（jù）加工路線法，同時（shí）結（jié）合 Z 字形走刀完成加工。加工過程（chéng）中，RTPA 算法在（zài） x 軸方向上、y 軸方向上和 z軸方向上，根據 RTPA 算法得到的位移和速度曲線的控製（zhì）效果如圖 5 所示。

圖 5 RTPA 算（suàn）法在 3 個方向上對位移和速度曲線的控製效果（guǒ）

從圖 5（a）中可以看出，RTPA 算法在（zài） x 軸方向上對位移（yí）的控製形成了三角波的曲線形（xíng）式。受到加工任務（wù）的（de）限製，RTPA算法在 x 軸方向上的位移最大值（zhí）為 0 mm，最小值接近 -150 mm的位置，位移曲線的三角波周期（qī） 4.17 s。RTPA 算法在 x 軸方向上對速度的控製（zhì）形（xíng）成了矩形方波的曲線形（xíng）式，但因為加工過程的影響出（chū）現了一定的抖（dǒu）動（dòng）。RTPA 算法在 x 軸方向上的速度最大值接近 80 mm/s，最小值接近 -80 mm/s，速度曲線的矩（jǔ）形方（fāng）波周（zhōu）期 4.17 s。從（cóng）圖 5（b）中可以看（kàn）出，RTPA 算法在 y 軸方向上對位移的控製形成了階躍波的曲線形式（shì）。受到加工任（rèn）務的限製，RTPA算法在 y 軸方向上的位移最（zuì）大值為 0 mm，最小值接近 -6 mm的位置，位移曲線的階（jiē）躍（yuè）波周期 4.17 s。RTPA 算法在 y 軸方向上對速度的控製（zhì）形成了脈衝波的形式。RTPA 算法在 y 軸方向上的速度最大值為（wéi） 0 mm/s，最（zuì）小值為 -10 mm/s，速度曲線的矩形（xíng）方波周（zhōu）期 4.17 s。

從圖 5（c）中（zhōng）可以看出，RTPA 算法在 z 軸方向上對位移的控製形成（chéng）了正弦半波的曲線形式。受到加工任務的限（xiàn）製（zhì），RTPA 算法在 z 軸方向上（shàng）的位移最大值為 6.2 mm，最小值為 0 mm 的位置，位移曲線的正弦半波周期 2.08 s。RTPA算法在 z 軸方向上對速度的（de）控製（zhì）形成了鋸（jù）齒波的曲線（xiàn）形式。RTPA 算法在 z 軸方向上的速度最大值接近 15 mm/s，最（zuì）小值接近（jìn） -15 mm/s，速度（dù）曲線的鋸齒波（bō）周期 2.08 s。

4、結論

該文對多（duō）軸聯（lián）動的數控係統進行了研究（jiū）。首先，在齊次坐標的（de）形式下，對多軸聯動係統任意關節處的位（wèi）置和姿態變化進行數學建模，推導了平移（yí）矩陣和旋轉矩陣的產（chǎn）生過程。其次，基於比較器組件、計數器組件和生成器組件構建了反饋形式的 RTPA 算法，用於多（duō）軸聯動數（shù）控係（xì）統加工過程中的實際（jì）控製，並（bìng）對采樣頻率的影響進行了分（fèn）析（xī）。最後，以曲麵仿（fǎng）真加工為例進行了（le）驗證性試（shì）驗，試驗結果表明：該文采用的基於 CC路徑的截麵數據加工路線法，同時結合 Z 字形走刀可以（yǐ）順利完成（chéng）加工。同時，RTPA 算法在 3 個坐標軸方向上對位移和速度都進行了有效的控製。

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