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數控機床（chuáng）熱誤（wù）差補（bǔ）償模型穩健性比較分析

2015-12-18 來源：數（shù）控機（jī）床市場網作者：合肥工業大學儀器科學與光電工（gōng）程學院苗恩銘

摘要：數學模型的精度特（tè）性和（hé）穩健性特性對（duì）數控機床熱誤差補償技術在實際中（zhōng）的實施性影響不（bú）容忽視。論（lùn）文對（duì）數控加（jiā）工中（zhōng）心關（guān）鍵點的溫度和主軸 z 向的熱變形量采用多種算法建立了預測模型，對不同算（suàn）法擬合精度進行分析。同時全年進行熱（rè）誤差跟蹤試驗，獲（huò）得了機床在不（bú）同環境溫度和不同主軸（zhóu）轉速的試驗條件下的敏感（gǎn）點溫度和（hé）熱誤（wù）差值。以此（cǐ）為（wéi）基礎，對各種預測模型的預測精度進（jìn）行比較（jiào）驗證（zhèng）不同模型的穩健性。結果表明，多元線性回歸（guī）算法的最小一乘、最小（xiǎo）二乘估計模型以及分布滯後模型在改變試驗條件時預測（cè）精度下降，而基於支持向量回歸機原理的熱誤差補償模型仍能保持較好的預測精度，穩性強。這為數控機床熱誤差補償模型的選擇提供了具有實用價值的參考，具有很好工程應用性。

關鍵詞：數控機床；熱誤差；穩健性；多元線性回歸模型；分布滯後模型；支持向量回歸（guī）機

0 前言

在數控機床的各種誤差（chà）源中，熱誤差已經成為影響零件加工（gōng）精度主要誤（wù）差來源。減少熱誤差是提（tí）高數控機床加工精度的關鍵。在熱誤差補償（cháng）中，建模技術則是重點。由於機（jī）床熱（rè）誤差在很大程度上取決（jué）於加工條件、加工周期、切削液的使用以及周圍環境等等多種因素，而且熱誤差呈現非線性及交互作用，所以僅用理論分析來精確建立熱誤差數學模型是相當困難的（de）。最為常用的熱誤（wù）差建模方法為（wéi）試驗（yàn）建模法，即根據統計理論對（duì）熱誤差數據和機床溫度（dù）值（zhí）作相關分析。楊建國等提出了數控機床熱（rè）誤差分組（zǔ）優化建模，根據溫度變量之間的相關性對溫度變量（liàng）進行分組，再與熱誤差進行排列組合逐一比較選（xuǎn）出（chū）溫度敏感點用於回歸建模。韓國的KIM 等運（yùn）用有限元法建立了（le）機床滾珠絲杠係統的溫度場（chǎng）。密執（zhí）安大學的YANG 等運用小腦模型（xíng）連接控製（zhì）器(CMAC)神經網絡建立了機（jī）床熱誤差模型。

ZENG等用粗糙集人工神經網絡對數控機床熱誤差（chà）分（fèn）析與建（jiàn）模，並對建模精度進行了論證。Chen Cheng等運（yùn）用聚類（lèi）分析理（lǐ）論和逐步（bù）回（huí）歸選擇三坐標測（cè）量機熱誤差溫（wēn）度敏感點，用PT100測量溫度、激光幹涉儀（yí）測量（liàng）三坐標測量機熱誤差，建立了多元線性模型。由於這些建模方式是離線和預先建模，而且建模數據采集於某段時間，故（gù）用這些方法建立起來的熱誤差數學模型的（de）穩健（jiàn）性（xìng）顯然（rán）不（bú）夠，一般隨著季節的變化難以長期正確地預報熱誤差。近年來，支（zhī）持向量機是發展起來（lái）的一種專門研究小樣（yàng）本情況下的機器學習規律理論，被認為是（shì）針對小樣本統計和預測（cè）學習的最佳理論。支持向量機建立在（zài）VC維理論基礎上, 采用結構風險最小化原則, 不僅結構簡單, 且有效解決了模型選擇與欠學習、過學習、小樣本、非線性、局部最優和維數（shù）災難等問（wèn）題，泛（fàn）化能力大大提高。本文對Leader way V-450型數控加工中心進行熱誤差測量試驗，采用（yòng）模糊聚（jù）類與灰色關聯度理論綜合應用進行了溫度敏感點選擇，同時利用多元線性回歸模型，分布滯後模型，支持向量回歸機模型分別建立熱誤差（chà）補償模型，並對（duì）多（duō）元回歸（guī）模型分別（bié）采用最小二乘和最小一乘估計，通過比對各種模型的穩健性，從而（ér）為（wéi）數控機床熱誤差補償建模（mó）方法的選擇提供了參考，具有實（shí）際的工程應（yīng）用價值。

1 熱誤差建模模型

1.1 多元線（xiàn）性回歸模型

多元線（xiàn）性回歸(MLR)是一種用統計方（fāng）法尋求多輸入和單輸出關係的模型。熱誤差（chà）的多元線性回歸模型以多個關鍵溫（wēn）度敏感（gǎn）點測量的溫度（dù）增量值為自變量，以熱變形量為因變量，其通用（yòng）表達式（shì）為

式中，

為關鍵（jiàn）溫度敏感（gǎn）點溫度測量增量值，

為溫度變量的係數，y i 為熱變形測量（liàng）值， ei是與實際測（cè）量值 yi存在（zài）的偏差,也（yě）稱殘差（chà）。

同時，采用最小一乘和最小二乘兩種準則對線性回（huí）歸模（mó）型進行估計計算。最小二（èr）乘法在方法（fǎ）上較為成熟，在理論上也較（jiào）為完善，是一種（zhǒng）常用的最優擬（nǐ）合（hé）方法，目前（qián）廣泛（fàn）應用於科學技術領域的許多實際問題中，在數控機床建模技術（shù）中也有很多的應用。而最小一乘（chéng）法受異常值的影響較小，其穩健性比最小二乘法的要好，但最小一乘回歸屬於不可微問題，計算具（jù）有較大（dà）的難度。文中針對最小一乘的算法采用（yòng）文獻（xiàn）[13]的（de）算法理論和 Matlab 程序。最（zuì）小二乘準則——殘差平（píng）方和最小，即

最小一乘準則——殘差絕對值和最小，即

1.2 分布滯後模型

如果因變（biàn）量不僅與一個或多個解釋變量的當前值有關係而且與其若幹滯後值有關係，描（miáo）述這種關係的模型稱為分布滯後模型(DL)，記為

對於滯後階數 n 的確定，由於試驗測量數據量比較大，所以可以采用簡單的（de）權宜估計法。即取n=1,2,…,i，對不同的 i 條件下經最（zuì）小二乘擬合（hé），當滯後變量的回歸（guī）係數開始變得統計不（bú）顯著，或其中有（yǒu）一個變量的係數改變符號時，i-1 就（jiù）是（shì）最終的滯後階數。

1.3 ε- 支持向量回歸機模型 (SVR)

統計學習理論是由 VAPNIK[11]建立的一種（zhǒng）專門研究有限樣本情況下機器學習規律的（de）理論，支持向（xiàng）量機（jī）是在這一（yī）理（lǐ）論基礎上發展起來的（de）一種新的分類和回（huí）歸工具（jù）。支持向量機通過（guò）結構風險最小化原理來提高泛化能力，並能較好地解決小樣本、非線性、高維數、局部極小點等實際問（wèn）題（tí），其已在模式識別、信號處理、函數逼近等領域應用。

1.3.1 ε-支持向量回歸機的（de）原理

根據結構風（fēng）險（xiǎn）最（zuì）小化原理，ε-支持向量回（huí）歸機的函數建模問題就是尋找使下麵（miàn）目標函數風險

優先選擇高斯徑（jìng）向基核函數用（yòng）於熱誤差建模。當選用高斯徑向基（jī）核函數時，訓練結果精度以及穩健性取（qǔ）決於g和C的取值。支持向量機參數選擇方法通（tōng）常包括基於網絡遍曆尋參算法、交叉驗證法等，而交（jiāo）叉驗證方法（fǎ）應用比較簡單、實用性強，本文根據交叉驗證法優化模型參數[14]。

2 試（shì）驗設（shè）計

2.1 試驗方（fāng）案

本文對 Leader way V-450 數（shù）控加工中心主軸 z向進行熱（rè）誤差測（cè）量試驗，各傳感器的安放位置及作用如表 1 所示，溫度傳感器和電感測微儀具體分布位置如圖 1 所示。

試驗對數控（kòng）加工中（zhōng）心在不同季（jì）節(不同環（huán）境（jìng）溫度)、不同主軸轉速下進行了（le）九次熱誤差測量試驗（yàn），測（cè）量的次數、轉速及環境溫度如表（biǎo） 2 所示（shì）。

2.2 溫度敏感點（diǎn）的篩選

為便於實際工程應用，針對溫度傳感器數目進行優化挑選，合理有效地篩選溫度傳感器有助於提高機床熱誤（wù）差建（jiàn）模精度。本文采用模糊聚類與回歸關（guān）聯度相結合的方法選擇（zé）熱誤差關鍵敏感（gǎn）點，具體方法，最終選（xuǎn）擇 T6 和 T7 作為溫度敏感點。

3 建模模型的穩健（jiàn）性分析

穩健性是指在模（mó）型與實際對象存在一定差距時，模型（xíng）依然具有較滿意的模擬（nǐ）預測性能。本文利用（yòng）多元線性（xìng）回（huí）歸的最小二乘、最小一乘估計模型，分布滯後模型以及（jí）支持（chí）向量回歸（guī）機模型對 K16000數據分別建立預測（cè）模型，先進行（háng）各模型對本批數據的擬（nǐ）合精度進行分析（xī），隨後將該模型用於其（qí）他批次采樣數據的預測，以判斷模（mó）型的穩健性。同時，根據建模數據的來源批次特征，對各算法給予了穩健性分析。

3.1 不同算法的模型擬合精度（dù）分析

各（gè）個模型的數學公式如下。

MLR 最小二乘估計公式

式中，T6為 T6 處溫度增量（liàng）；T7為 T7 處（chù）溫度增量。

MLR 最小一乘估計公式

式中，T6為 T6 處溫度增（zēng）量，T7為 T7 處溫度增量。DL 模型公式：由權宜估計法（fǎ）判斷（duàn）分布滯後模型的後階數（shù）為二（èr）階

式中，通過交叉驗證方法優化參數（shù）敏感函數g=0.002 6，懲（chéng）罰係（xì）數（shù） C=24 834；通過軟件 LIBSVM在 Matlab 上運行（háng），可以得到支持（chí）向（xiàng）量、支持向量對應的係)以及（jí）常數項 b=49.551，l為數（shù）據量（liàng）(本批次為 110 個)。各模型對 K16000數據擬合標（biāo）準差如（rú）表 3 所示，擬合效果如圖 2 所示。

由表 3 可知，擬合精度 SVR 最優，DL 其次（cì），擬合精度最（zuì）差的是 MLR 最小一乘算法。為（wéi）比對各算法穩健性，利用各個模型（xíng）建立的預測模型對其餘批次數（shù）據按照同轉（zhuǎn）速不同溫度(環境溫度變化範圍較大)、同溫度(環境溫度變化較小)不同轉速不同溫度(環（huán）境溫度變（biàn）化範（fàn）圍較大)不同轉速（sù）三（sān）種類型進行數據預測，根據預（yù）測效（xiào）果對各個（gè）補償模（mó）型進行穩健性分析。

3.2 同轉速不同環境（jìng）溫度分析

以 K16000數據建立的（de）預測模型對（duì） K26000數據進行預測（cè）精度分析，分析效（xiào）果如圖 3 所示；再（zài）對K36000數據進行預測精度分析，分析效果如圖 4 所示。各個預測模型的預測標準差如表 4 所（suǒ）示。

通過分析比較可得，轉速不變，環境溫度增加較小（xiǎo）時，各個預測模型的預測效果仍然保（bǎo）持較好，但是（shì）隨著環境（jìng）溫度增（zēng）加較大時，多元線性回歸的最小二乘、最小一乘模型以及分布滯後模（mó）型的預測效果變差，其（qí）中多元線性回歸的最小二乘（chéng）算（suàn）法相對較（jiào）好，隨後是最小一乘模型，預（yù）測效果最差的是分布滯後模型。除此之（zhī）外，支持向量回歸機模型仍能保持很好的預測精度。

3.3 同溫（wēn）度不同轉速分析

針對溫度變（biàn）化範圍較小的不同轉速測量數據，以 K16000數據建立的預測（cè）模型對K14000和 K12000數據進行預測精度分析（xī），根據分析數據結果來判斷不同算法建（jiàn）立的模型的穩健性。先對 K14000數據進行（háng）分析，分析（xī）效（xiào）果如圖 5 所示；然後分析 K12000數據，分析效果如圖 6 所示。各個預（yù）測模型的預測（cè）標準差如表 5 所示。

通過分析比較（jiào）可得，環境溫度（dù）基本不變，轉速逐漸降低時，最（zuì）小二乘和最小一乘模（mó）型仍具有（yǒu）一定的預測精度，分布滯後模型預測效（xiào）果越來越差，而支持向量回歸機模型始終保持（chí）很好的預測精度。各算（suàn）法穩定性優劣依次為支（zhī）持向量回歸（guī）機模型、最小二乘、最小一乘和分（fèn）布滯後模型（xíng）。

3.4 不同溫度不同轉速分（fèn）析（xī）

針對環境溫度變化時的不同轉速測量數據，以（yǐ） K16000數據建（jiàn）立的預測模（mó）型（xíng）對 K24000、K22000、K34000和 K32000數據進行預測精度分析，根據分析數據結果來判斷不同算法建立的模型的穩健性。各個預測模型的（de）預測標準差如表 6 所示。

通（tōng）過分析比較可得，環境溫度變化幅度較小，轉速逐漸降低時，最小（xiǎo）二乘和支（zhī）持向量回（huí）歸機模型具（jù）有很好的預測（cè）精度，最小一乘（chéng）模型的預測精度（dù）逐（zhú）漸降低，分布滯後模型預測效果逐漸變差；環境溫（wēn）度（dù）變化（huà）幅度較大時（shí）(超過 10℃)，轉速逐（zhú）漸降低時，隻有支持向量回歸機模（mó）型仍保持較好的預測精度，其他的預測模型的預測效果很差。各算法穩定性優劣依次為支持向量回歸機模型、最小二乘、最小一乘（chéng）和分布滯（zhì）後模型。

4 結論

(1) 通過長期測量（liàng）數控機（jī）床熱誤差和關鍵敏感點溫度來（lái）獲得多批次的試驗數據，通過多種模型算（suàn）法進行了預測建模，從機床主軸同轉速不同環境溫度（dù）、同環境溫度不同轉速、不同轉速（sù）不同環境溫度等三種情況對預（yù）測模型的精度（dù）與穩定性進行了分（fèn）析。

(2) 從試驗效果可知，分布滯後模型具（jù）有很好的擬合精度，但以一組（zǔ）采樣數據建立的分布滯後模型（xíng）其穩健性較差。僅以一組采樣數（shù）據進行建模，最小一乘模型的穩（wěn）健性（xìng）並不優於最小（xiǎo）二乘模型，反而略差。最小一乘（chéng）法穩健性（xìng）高於最（zuì）小二乘法的說法，是基於（yú）對異常數據處理方麵的優勢，而數控機床熱變形測（cè）量數（shù）據中出現異常數據的概率很小，使得該法的優勢並（bìng）未得到體現，而且數控機床熱誤差數據樣本（běn）量較大，最小一乘算法複雜，相對於（yú）最小二乘法，最小一乘法在數控機床熱誤差預測建模中的實際應用效果反而不如最小二乘法。

(3) 支持向量（liàng）回（huí）歸機模型擬合精度高，預測效果保持性好，穩健性強，該算法作為數（shù）控機床熱誤差補（bǔ）償的建（jiàn）模算法（fǎ）具有工程應（yīng）用（yòng）基礎。

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