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加工中心雙懸浮係統支持向量機α階逆解耦時變滑模控製

2016-7-14 來源：沈陽工業大學作者：劉春芳（fāng）榮剛

摘要（yào）:龍（lóng）門數控加工中心移動（dòng）機械橫（héng）梁可采用雙電（diàn）磁懸浮係統共同懸浮來消除摩擦的影響,而這兩個電磁懸（xuán）浮係統存在著一定（dìng）的（de）耦合關係。當數控機（jī）床（chuáng）工作時,由於（yú）受力（lì）不平（píng）衡或者擾動等因素影響,這種耦（ǒu）合的存在會使兩（liǎng）個電磁（cí）懸浮係統的懸（xuán）浮氣隙受到影響（xiǎng）,並降低加工精度。分析得出了橫（héng）梁發生繞質心旋轉和（hé）上（shàng）下（xià）平移時兩個電磁懸浮係統的耦合定量關（guān）係,為了消除耦合的影響,采用支持向量機逼近雙電磁懸浮係統的毩階逆係統,將所得到的毩（jú）階逆係統串聯在原係統前構成偽線性（xìng）複合係統,從而將原係統解耦成兩個獨立的SISO 偽線性係（xì）統（tǒng）。針對解耦（ǒu）後的偽（wěi）線性SISO 係統（tǒng）設計了時變滑模變結構控製器（qì）,可使係統在任意初始狀態下係統（tǒng）狀態變（biàn）量都能直接到達係統的滑模麵上,消除了狀（zhuàng）態變量到達滑模（mó）麵的過程（chéng）,以（yǐ）最短（duǎn）的時間實現了滑模變結構控製,實現了（le）對參數攝動和外部幹擾的全局魯棒性（xìng）。仿真實驗結果表明,該方案不需要被控對象精確的數（shù）學（xué）模型即可采用支持向（xiàng）量機逼近被控係統的毩階逆係統,可有效地對耦合的懸浮係統實現解耦。解耦後的SISO 偽線性係統采用時變滑模變結構控（kòng）製具有響應速度快和魯棒性強等特點。

關鍵詞:毩階（jiē）逆係統;解耦;支持向量機;時變（biàn）滑模變結構

0、引言

隨著科學技（jì）術的發展,人們對零件加工精度的（de）要求也越來越高。傳統的龍門移動數（shù）控機（jī）床移動橫梁與導軌完全接觸存在著（zhe）摩擦,即使加入潤滑劑也不能完全消除摩擦影響。為了消除摩擦的影響,利（lì）用兩個（gè）電磁懸浮係（xì）統將移動橫梁懸浮起來,可提高加工精度。由於兩個電磁懸浮係統（tǒng）控製同一個移動機械橫梁,所以它們之間存在著一定的耦合關（guān）係,即當橫梁傾斜或旋轉時,兩個電磁懸浮（fú）係統的懸浮氣隙會（huì）同時發生變（biàn）化,從而兩（liǎng）個電磁懸浮係統的電磁力和其他參數也會受（shòu）到影響。以往的文獻忽略了兩個（gè）電磁懸（xuán）浮係統的耦合關係,隻是通過設計良好的同（tóng）步控製器來減小兩個電磁懸浮係統的同步誤差[1]。耦合的存（cún）在（zài）會降低工件的加工精度,從而降低係統的穩定性。

針對兩個係統存（cún）在的耦合關係,本文采用毩階逆係統解耦控製方法消除（chú）耦合對係統穩定懸浮的影響,其原理為（wéi）:將原係統的毩階逆係統與原係統串聯就可將雙電磁耦合懸浮係統解耦成兩（liǎng）個獨立的SISO 係統,並可將獨立的係統簡化為（wéi）偽線性係統（tǒng）,降低SISO 係統控製器的（de）設計（jì）難度[2]。逆係統解（jiě）耦方法需要被控對象數學模型精確可知（zhī）,但在工程實踐中很難做到,而且非線性被控對象複雜（zá）多變（biàn）,所（suǒ）以逆係統模型就（jiù）更（gèng）加難以建立了。

支持向量機(SVM)的出現為解決非線性係統的逆係統建模（mó）難的問題提供了一種有效的方法。支持向量機可以逼近任意非線性函數,這為其用於對係統的辨識提供了理（lǐ）論依據[3-4]。本文在分析了龍門數控（kòng）加工中心雙電磁懸浮係統耦合情況的基礎上,證明了係統的可逆性。由於被控係統的精確數學模型難以建立,所以利用支持向量（liàng）機可以逼近任意非線性函數的特點,可辨識出被控係統的毩階逆係統。得到的逆係統（tǒng）與被（bèi）控對（duì）象串聯構成偽線性係統,從而將MIMO係統（tǒng）解耦成多個SISO。解耦後（hòu）的單係統采（cǎi）用專家PID閉環控製,增加了懸浮係統（tǒng）的快速性和魯棒性。仿真實驗表明,支（zhī）持向量機毩階逆係統可以（yǐ）很好地（dì）解決係統的耦合問（wèn）題。

1、雙電磁懸浮（fú）係統耦合數學模（mó）型

1.1、單電磁懸浮係統數學模型

圖1為龍門移動數控（kòng）加工中心機械結構圖。

圖1雙懸浮係統數控機床部分結構（gòu）圖

從（cóng）圖1可以看出,移動橫梁由兩個電磁懸浮係統共同懸浮,為（wéi）了分析得出兩個電懸浮係統之（zhī）間的耦合關係,首先需要（yào）從建立單電磁懸浮係統數學模（mó）型開始。圖2為單電磁懸浮係統結構圖,圖中,Φ1 為漏磁通;Φm 為氣隙磁通。

由文獻[1]得單電磁懸（xuán）浮係統數學表達式為

圖2單電（diàn）磁懸浮係統結構（gòu）圖

由式(1)可以看出,電磁懸浮（fú）係統由運動方程、電（diàn）磁力方程和電壓方（fāng）程組（zǔ）成,其中電磁力與電流的平方成正比,與懸浮氣隙的平方成反比,因此電磁懸浮係統是典型的（de）非線性係統。

1.2、橫梁雙懸浮係統耦合分析

雙電磁懸浮係統耦合示意圖見圖3,圖3中,c1、c2、f1、f2、ι、 θ分別為兩個電磁鐵的傳感（gǎn）器位移、兩個電磁鐵的電磁力、橫梁的一半長度和橫梁旋轉的角度。

圖3雙電磁懸浮（fú）係統（tǒng）耦合示意圖（tú）

其中,轉動角

豎直方向上的位移:

旋轉方向（xiàng）上位移:

由（yóu）式(3)、式(4)得

豎直方向上的合力:

fg =f1 +f2 (6)

質心運動動力學方程和繞質心轉動動力學方（fāng）程分別為

經（jīng）過力的坐標與傳感器中坐（zuò）標之間的變換及式（shì）(7)、式(9)得加速度與力的關係為

式(10)表明兩個電磁懸浮係統（tǒng）的加速度存在著耦合關係。

2、雙電懸浮係統可逆性分析

根據式(1)可以得出（chū）電磁力與電壓之間的關係為

式中,l0 為電磁力係數;i1 、i2 為雙電磁鐵線圈的控（kòng）製電流;u0 為真（zhēn）空磁導率。

通過式(1)和式(10)可（kě）以得（dé）出係統狀態方程如下:

計算輸出（chū）變量（liàng）對時間的導數可以得到:

將式(11)代入式(13),式(13)會（huì）直接變為輸入變量為u1、u2 的方程組（zǔ）。

Jacobi矩陣

GONGSHI 12

3、雙懸（xuán）浮係統支持向量機毩階逆解（jiě）耦

對於耦（ǒu）合的雙電磁懸浮係統,可（kě）采用毩階逆係統方法進行解耦（ǒu）,其基本思（sī）想為:將建立的MIMO被控係（xì）統的毩階逆係統串聯在原係統前構成偽（wěi）線（xiàn）性複合係統,原係統會被解耦成多個（gè）獨立的SISO 係統,並（bìng）且獨立係（xì）統（tǒng）具有線性傳遞性質（zhì）,即偽線性係（xì）統。解耦後的獨立子係統可以采用線性控製方法,簡化了係統的結（jié）構,適合於工程實踐。

逆係（xì）統（tǒng）方（fāng）法（fǎ）的實（shí）現必須（xū）滿足兩個條件:第一,被控對象數學模型（xíng）精確可知,第二,非線性（xìng）模型的逆必須求解出來。非（fēi）線性模型複雜多變,逆係統模型不易求出。由於支持向（xiàng）量機（jī）具有逼近任意非線性函數的功能且具有（yǒu）風險函數最小化（huà）的特點,因此本文采用支持向量機來逼近雙電磁（cí）懸浮（fú）係統的α階逆係統來達到對耦合係統進行（háng）解耦的（de）目的（de）。其基本原理為:通過非線性內積核函數將數據從低維空（kōng）間Rn 映（yìng）射到Hilbert高維特征空間,然後在高維（wéi）空間（jiān）建立一（yī）個（gè）線性回歸函數,其表達形（xíng）式為

式中,w 為權值;Φ(x)為非（fēi）線性映射;b 為閾值。當輸（shū）入樣本（běn）訓練集(xi,ui)時（shí）(i=1,2,…,j),其中,xi 為懸浮氣（qì）隙采集點,ui 為依（yī）據結構風險最小化原理,則（zé）支持向量機回歸（guī）學習最優逼近應使得風險函數最小:

通過引（yǐn）用對偶定理、拉格朗日（rì）函數及核函數,將式(17)等價為如下凸二次規劃問題:

最後（hòu）可以（yǐ）構造（zào）非線性（xìng）回歸函（hán）數[5-6] 如下:

支持向量機擬合毩（jú）階逆（nì）係統流程如圖4所示。

4、時變滑模變結構（gòu）控製（zhì）

本（běn）文設計了時（shí）變滑模變（biàn）結構控製器對解耦後的（de）單懸（xuán）浮（fú）係統進行（háng）控製。時變滑模變結構改進了（le）滑模變（biàn）結構控製或其改進方法（fǎ）在係統的狀態變量未到達設定（dìng）的滑模（mó）麵之（zhī）前無法實（shí）現的不足（zú）,使係統在（zài）任意初始狀（zhuàng）態下的狀（zhuàng）態變量都（dōu）能直接到達係統的滑模麵上,取消了狀態變量到（dào）達滑模麵的過程,以最短的時間實現滑模變結構控製（zhì）,實（shí）現對參

圖4支持向量機擬合毩階逆係統流程

數攝動和外部幹擾的全局魯棒性[7]。時變（biàn）滑模變結構控製器設計如下:

由式（shì）(1)可知,該磁懸浮係統（tǒng）是一個典型的非線性係統,為設計方便,可以通過相應的坐標變換（huàn）,將其變換為（wéi）仿射型非線性係統。

設位置指令為r,選取位置誤差z1、速度誤（wù）差z2、加速度誤差z3 為狀（zhuàng）態變量,則誤差表達式可（kě）表示為

因此可得到新坐標係（xì）下的磁懸浮係統仿射非線性模型表達式:

為了討論問題方便,這裏作如下假設。

時變滑模麵可（kě）設計（jì）為

在初始狀態時就處（chù）於（yú）滑模（mó）麵上;條件栚保證了係統的漸近穩定性;條件栛（lì）保證了滑模運動的存在。同時根據條件栚漸（jiàn）近穩定性求解微（wēi）分方程得到:

根（gēn）據上述時變滑模麵選取原則,懸浮係統的時（shí）變滑模麵設計為

時（shí）變滑模變結（jié）構控製（zhì）律由線性控製和切換控製兩部分（fèn）組成,即ud =uc+uvss。其中,線性控製律為

式中,kc 為正的常數。切（qiē）換（huàn）控製律為

5、仿真實驗

圖5支持向量機α階逆係統解耦係統框圖

圖6雙（shuāng）電磁懸浮係統仿真框（kuàng）圖

對單懸浮係統施（shī）加1000N 幹擾雙電磁懸浮係統PID控製仿真結果見圖（tú）7。

圖7雙電（diàn）磁懸浮係統未解耦PID 控製仿真（zhēn）曲線

由（yóu）圖7可得,單電磁懸（xuán）浮係統受到幹擾時另一個係統也會受到影響,這說明兩個電磁懸浮係（xì）統存（cún）在明顯的耦合關係。

1.受到幹擾的電磁懸浮係統暋2.未（wèi）受到幹擾的電磁懸浮係統

圖8支持向量機α階逆解耦PID 控製仿真曲線

1.受到（dào）幹擾的電磁懸浮係統暋2.未受到幹擾的電磁懸浮係統

圖9支持向量（liàng）機α階逆解耦時變（biàn）滑模變結構仿真曲線

圖8表明支持向（xiàng）量機（jī）α階逆係統（tǒng）解耦控製可以（yǐ）很好地使兩個（gè）耦合的電（diàn）磁懸浮係統解耦成兩個獨立的係統互不幹擾。圖9表明時變滑模變結構（gòu）控製較PID 控製（zhì）具有響應速度快、超調小（xiǎo）、魯棒性強（qiáng）的特點。

6、結語

本文對龍門雙電磁懸浮係統耦合情況進（jìn）行了分析,得出了兩個電磁懸浮係統的耦合關係,通過可逆性分析,證明了耦合（hé）雙電磁懸浮係統是可逆的。為了（le）使（shǐ）耦合的雙電磁懸浮係統解耦（ǒu）出兩個（gè）獨立的單係統,本文采用α階逆（nì）係統對耦合係統進行解耦。由於非線電磁懸浮係（xì）統的α階逆係統的精確模型不易得出,因此本（běn）文采用支持向量機逼近雙電（diàn）磁懸浮係統的（de）α階逆係統。解耦後的獨立偽（wěi）線性係統采用時變滑模變結構控製（zhì）。仿真結果表（biǎo）明,支持向（xiàng）量機α階（jiē）逆係統具有很好的解耦控製效果,使兩（liǎng）個懸浮係統互不幹擾;時（shí）變滑模變結構控製的獨立偽線性係統（tǒng）具有響應速度快、魯棒性強的特點。

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