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數控機（jī）床熱誤差補償模型穩健（jiàn）性（xìng）比較分析

2015-12-18 來源：數控機床市場網作者：合肥工業大學儀器科（kē）學與光電工程學院苗恩銘

摘（zhāi）要：數學模型的精（jīng）度（dù）特性和穩健性特性對數控機床熱誤（wù）差補償技術在實際（jì）中的實（shí）施性影響不容（róng）忽視。論文（wén）對數控加工中心關鍵點（diǎn）的溫度和（hé）主軸 z 向的熱變形量采用多種算法建立了預測模型，對不同算法擬合精度進行分析。同時全年進行熱誤差跟（gēn）蹤試驗，獲得了機床在不（bú）同環境溫度和不同主軸轉速的試驗條件下的敏感（gǎn）點溫度（dù）和熱誤差值。以此（cǐ）為基礎，對各種預測模型的預測精度進行比較驗證不同模型的穩健（jiàn）性。結果表明，多元（yuán）線性回歸算法的最小一乘、最小（xiǎo）二乘估計模型以及（jí）分布滯後模型在（zài）改變試驗條件時預測精（jīng）度下（xià）降，而（ér）基於支持（chí）向量回（huí）歸機原理的熱誤差補償模型仍能保持較好的預測精度，穩性強。這為數控機床熱誤差補償模型的選（xuǎn）擇（zé）提供（gòng）了具有實用價值的參考，具有（yǒu）很好工程（chéng）應用性。

關鍵詞：數控機床；熱誤差；穩健性；多元線性回歸模型；分布滯後模型；支持向量回歸（guī）機

0 前言

在數控機床的各種誤差源中，熱誤差已經成為影響零（líng）件加工（gōng）精（jīng）度主要誤（wù）差（chà）來源（yuán）。減少熱誤差是提高數控機床加工精度（dù）的（de）關鍵。在熱誤差補償中，建模技術則是重點。由於機（jī）床（chuáng）熱誤差在（zài）很大程度上取決於加（jiā）工條件、加工周期（qī）、切（qiē）削液的（de）使用以及周圍環境等等多種（zhǒng）因素，而且（qiě）熱誤差呈（chéng）現非線性及交互作用，所（suǒ）以僅用理論分析來精確建立熱誤差數學模型是相當困難的（de）。最為常用的熱誤差（chà）建模方（fāng）法（fǎ）為試（shì）驗建模法，即根據統計理論對熱誤差數據和機床溫度值作相關分（fèn）析。楊建國等提出（chū）了數控機床熱誤差分組優化建模，根據（jù）溫度變量之間的相關性對（duì）溫度變量進（jìn）行分（fèn）組，再與熱誤（wù）差進行排列組合逐（zhú）一比較選出溫度敏感點用於回歸建模。韓國的KIM 等運用有限元法建立了機床（chuáng）滾珠絲杠係統的（de）溫度場。密執安大學的YANG 等運用小腦模型連接控製器（qì）(CMAC)神經網絡建立了機床熱誤差模型。

ZENG等用粗糙集人工（gōng）神經網絡對數控機床熱誤差分析與建模，並對建模精度進行了論證。Chen Cheng等運用聚類分析（xī）理論和逐步回歸選擇三坐標測量機熱誤差溫度敏感點，用PT100測（cè）量溫（wēn）度、激光幹涉儀測量三坐標測量機熱誤差，建立了多元線性（xìng）模型。由於（yú）這（zhè）些建模方式是（shì）離線和預先建模，而且建模數據采集於某段時間，故用這（zhè）些方法建立起來的熱誤差數學模型的穩健性顯然不夠，一般（bān）隨著季節（jiē）的變化難以（yǐ）長期正確地預報熱誤差。近（jìn）年來，支持向量機是發（fā）展起來的一種專門研究小樣本情況下的機器學習規律（lǜ）理（lǐ）論，被認為是針對小樣本統計和預測學習的最佳理論。支持向量機建立在VC維理（lǐ）論基礎（chǔ）上, 采用結構風險最小化原則（zé）, 不（bú）僅結構簡單, 且有效解決了（le）模型選擇與欠學習、過學（xué）習、小樣本、非線性、局部最優和維數災難等問題，泛（fàn）化能力大大提高。本文對Leader way V-450型數控加工（gōng）中心進行（háng）熱誤差測（cè）量試驗，采用模糊聚類與灰色關聯度理論綜合應用進行了溫度敏感點選擇，同時利用多元（yuán）線（xiàn）性回歸模型，分布滯（zhì）後模型，支（zhī）持向量回歸機模型分別建立熱誤差補償模型，並對多元回歸（guī）模型分別（bié）采用最小二（èr）乘和最小一乘估計，通過比對各種模型的穩健性，從而（ér）為（wéi）數控機床熱誤差補償建模方法的選擇提供了參考，具有實際的工程應用價值。

1 熱誤差建模模型

1.1 多元線性回（huí）歸模型

多元線性回歸(MLR)是一種用統計方法尋求多輸入和單輸（shū）出關係的模型。熱（rè）誤差的多元線性回歸模型以多個關鍵溫度敏感點測量的溫度增量值為自變量，以熱變形量為因變量，其通用表達式為

式中，

為（wéi）關鍵溫度敏感點溫度測量增量值，

為溫度變量（liàng）的係數，y i 為熱變形測量值（zhí）， ei是與實際測量值 yi存在的偏差,也稱殘差。

同時，采用（yòng）最小一（yī）乘和最小二乘兩種準則對線性（xìng）回歸模型進行估計計算。最小二乘法在（zài）方法上較為成熟，在理論上也較為完善，是一種常用的最優擬（nǐ）合方法，目前廣泛應用於科學技術領域的許多實際問題中，在（zài）數控機床建模技術中也有很多的應用（yòng）。而最（zuì）小（xiǎo）一乘（chéng）法受（shòu）異常值的影響較小，其穩健性比最小二（èr）乘（chéng）法的（de）要好，但最小（xiǎo）一乘（chéng）回歸屬（shǔ）於不可微問題，計算具有較大的難度。文中（zhōng）針對最小一乘的（de）算法采用文獻[13]的算法理（lǐ）論和（hé） Matlab 程序。最小二乘準則——殘差平方和最小，即

最小一乘準則——殘差絕對值和最小，即

1.2 分布滯（zhì）後模型

如果因變量不僅與一個或多個解釋變量的當前值（zhí）有關係而且與其（qí）若幹滯後值有（yǒu）關（guān）係，描述這種關係（xì）的模型稱為分布滯後（hòu）模型(DL)，記為

對於滯後階數 n 的確定，由於試驗測量數據量比較大，所以可以采用簡單的權宜估計法。即取n=1,2,…,i，對不同的 i 條件下經最小二乘擬合，當滯後變量的回歸係數開始變得統計不顯著（zhe），或（huò）其中有一個變量的係數改變符號時，i-1 就是最（zuì）終的滯後階數（shù）。

1.3 ε- 支持向量（liàng）回歸機模型 (SVR)

統計學習（xí）理論是（shì）由 VAPNIK[11]建立的（de）一種專門研究有限樣本情況下機器學習規律的理論，支持向量機是（shì）在這一理論（lùn）基礎上發（fā）展起來的一種新的分類和（hé）回歸工具。支持向量機通過結構風險最小化原理來（lái）提高泛化能（néng）力，並能較好地解（jiě）決小樣本、非線性、高維數、局（jú）部極小點等實際（jì）問題，其已在模式識（shí）別、信號（hào）處理、函數逼近等（děng）領（lǐng）域（yù）應用。

1.3.1 ε-支持向量回歸（guī）機的原理

根據結構風險（xiǎn）最小化原理，ε-支持向（xiàng）量回歸機（jī）的函數建模問題（tí）就是尋找使下麵目標函數風險（xiǎn）

優（yōu）先選擇高斯徑向基核函數用於熱誤差建模。當選用（yòng）高斯徑向基核函數時，訓練結果精度以及穩健性取決於g和（hé）C的取值。支持向量機參數選擇方（fāng）法通常包括基於網絡（luò）遍曆尋參算（suàn）法（fǎ）、交（jiāo）叉驗證法等，而交叉驗證方（fāng）法應用比（bǐ）較簡單、實用（yòng）性強，本文根據交叉（chā）驗證法優化模型參數[14]。

2 試驗設計

2.1 試驗方案

本文對 Leader way V-450 數控加工中心主軸 z向進行熱誤差測量試（shì）驗，各傳感器的安放位置及作用如表 1 所示，溫度傳感器和電感測微儀（yí）具體分布位置如圖 1 所示。

試驗對數控加（jiā）工中心在不同季（jì）節(不同環境（jìng）溫度)、不同主軸轉速下進行了九次（cì）熱誤（wù）差測量試驗，測量的次數、轉速及環境溫度如表 2 所示。

2.2 溫度敏感點的篩選

為便於實際工程應用（yòng），針（zhēn）對溫度傳感器數目進行優化挑選（xuǎn），合理有效（xiào）地篩選溫度傳感器有助於提高機床（chuáng）熱誤差建模（mó）精度。本文采用模糊聚類與回歸關聯度相結（jié）合的方法選（xuǎn）擇熱誤差關鍵敏感點，具體方法，最終選擇 T6 和 T7 作為溫度（dù）敏感點。

3 建模模型的穩健（jiàn）性分析

穩健（jiàn）性是指在模型與實際對象存在一定差距時，模型依然具有較滿意的模（mó）擬預測（cè）性能。本文利用多元線性回歸的最小二乘、最小（xiǎo）一（yī）乘估計模型，分布滯後模型以及支（zhī）持（chí）向量回歸機模（mó）型對 K16000數據分（fèn）別建立預測模型，先進行各模型對本（běn）批數（shù）據（jù）的擬合精度進行（háng）分析（xī），隨後將該模型用於（yú）其他批次（cì）采樣數據（jù）的預測（cè），以判斷模型的（de）穩健性（xìng）。同時，根據建模數據的來源批次（cì）特征（zhēng），對各算法給予了穩健（jiàn）性分析。

3.1 不同算法的模型擬合精度分析

各個模型的數學（xué）公式如下。

MLR 最小二乘估計公式

式中，T6為 T6 處溫度增量；T7為 T7 處溫度（dù）增（zēng）量。

MLR 最小一乘估計公式

式中，T6為 T6 處溫度（dù）增（zēng）量，T7為 T7 處溫度增量。DL 模型公式：由權宜估計法判斷分布滯後模型的後階數為二階

式中，通過交叉驗證方法優化參（cān）數敏（mǐn）感函數g=0.002 6，懲罰係數 C=24 834；通過軟（ruǎn）件 LIBSVM在 Matlab 上運行，可以（yǐ）得到（dào）支持向量、支持向量對應的係)以及（jí）常數項 b=49.551，l為數據量(本批次為 110 個)。各模型對 K16000數據擬合標準差如（rú）表 3 所示，擬合效果如圖 2 所示。

由表（biǎo） 3 可知，擬合精度 SVR 最優，DL 其次，擬合精度最差的是（shì） MLR 最（zuì）小一乘算法。為比對（duì）各算法穩健性，利（lì）用各個模型建立的預測模型對其餘批次數據按照同轉速不同溫度(環境溫（wēn）度變化範圍較大)、同溫度(環境溫度（dù）變化較小)不同轉速不同溫度(環（huán）境溫度變化範圍較大)不同轉（zhuǎn）速三種類型進行數據預測，根據預測效果對各個補償模型進行穩健性分析。

3.2 同轉速不同環（huán）境溫度分（fèn）析

以 K16000數（shù）據建立的預測模型對 K26000數據進行預測精度分析，分析效果如圖 3 所示；再對K36000數（shù）據進行（háng）預測精（jīng）度分析，分析效（xiào）果如（rú）圖 4 所示。各個預測模型的預測標準（zhǔn）差如表 4 所（suǒ）示。

通過分析比較可得，轉速不變，環境溫度增加較小時，各（gè）個預測模型的預測效果仍（réng）然保持較好，但是隨著環境溫度增（zēng）加較（jiào）大時，多元線性回歸的最小二乘、最小一乘模型以及分布滯後模型的預測效果變差，其中多元線（xiàn）性回歸的最小二乘算法相對較好，隨後是最小一乘模型，預測效果最差的是分布滯後模型。除此之外，支持向量回歸機模型仍能保持很好的預測精度。

3.3 同溫度（dù）不同轉速分析

針對溫度（dù）變化範圍較小的（de）不同轉速測量數據，以 K16000數據建（jiàn）立的預測模型對K14000和（hé） K12000數據進行預測精度分析，根據分析數據結（jié）果來判斷不同（tóng）算法建立的（de）模型的穩健性。先對 K14000數據進行分析，分析效果如圖 5 所示；然（rán）後分析 K12000數據，分析效果如圖 6 所示。各個預測（cè）模型的預（yù）測標（biāo）準差如表 5 所示（shì）。

通（tōng）過分析比（bǐ）較可得，環境溫（wēn）度基（jī）本不變，轉速逐漸降低（dī）時，最小二乘和最小一乘模（mó）型仍具有一定的預（yù）測精度，分布滯後模型預測（cè）效果越（yuè）來（lái）越差，而支持向量回歸機模型始終保持很好的預測精度。各算法穩定性優劣依次為支持（chí）向量回（huí）歸機模型、最小二乘、最小一乘和分布滯後模型。

3.4 不同（tóng）溫度不同轉速分析

針對環境溫度變化時的不同轉速測（cè）量數據，以 K16000數據建立的預（yù）測模型對 K24000、K22000、K34000和 K32000數據進行預測精（jīng）度分析，根據分析數據結果來判斷不同（tóng）算法建立的模型的（de）穩健性。各個預測模型的預測標準差如表 6 所示（shì）。

通過（guò）分析比較可得，環境溫度變化幅度較小，轉速逐漸降低時，最小二乘（chéng）和支（zhī）持向量（liàng）回歸機模型具（jù）有很好的預測精度，最小一乘模型的預（yù）測精度逐漸降低，分布滯後模型預測效果逐漸變差；環境溫度變化幅度較大時(超過 10℃)，轉速逐漸降低時，隻有支持向量回歸機模型仍保持較好的預測精度，其他（tā）的（de）預測模型的（de）預測效果很差。各（gè）算法穩定性優劣依次為支持向量回歸機模型、最小二乘、最（zuì）小（xiǎo）一乘（chéng）和分布滯後模型。

4 結論

(1) 通過長期測量數控機（jī）床熱誤差（chà）和關鍵敏感點溫度來獲得多批次的（de）試驗數（shù）據，通過多種模（mó）型算法進行了預測建模，從機床主軸同轉速不同環境溫度、同環境溫度不同轉速、不同轉速不同環境溫度等三種情況對預測模型的精度與穩定性進行了分析。

(2) 從試驗（yàn）效果可知，分布滯後模型具有很好的（de）擬合精度，但以一組采樣數（shù）據建立的分布滯後模型其穩健性較差。僅以一組采樣數據進行建模，最小一乘模型的穩健性並不（bú）優於最小二乘模型，反而略差（chà）。最小一乘法穩健性高於最小（xiǎo）二乘法的說法，是基於對（duì）異常數據處理方麵的優勢，而數控機床熱變形測量數據中出現異常數（shù）據的概率很小，使得該法（fǎ）的（de）優勢並（bìng）未得到（dào）體現，而且數（shù）控機床熱誤差數據樣本量較（jiào）大，最小一乘算法複雜，相對於最小（xiǎo）二乘法，最小一乘（chéng）法在數控（kòng）機床（chuáng）熱誤差預測建模中的實際應用效果反而不（bú）如最小二乘法（fǎ）。

(3) 支持向量回歸（guī）機模型擬合精度高，預測效果保持性好，穩健性強，該算法作為數控機床熱誤差補償的建模算法具有工程應用基礎。

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